ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.58 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Укажите, какой формулой можно задать функцию у = f(x), если:

a) f'(x) = 2х;

б) f'(x) = cosх;

в) f'(x) = 3;

г) f'(x) = -sinх.

а) $f'(x) = 2x = 2x^{2-1} + 0 = (x^2)’ + (C)’$;
Ответ: $f(x) = x^2 + C$.

б) $f'(x) = \cos x = \cos x + 0 = (\sin x)’ + (C)’$;
Ответ: $f(x) = \sin x + C$.

в) $f'(x) = 3 = 3 \cdot 1 + 0 = (3x + C)’$;
Ответ: $f(x) = 3x + C$.

г) $f'(x) = -\sin x = -\sin x + 0 = (\cos x)’ + (C)’$;
Ответ: $f(x) = \cos x + C$.

Мы будем использовать правило обратной операции к дифференцированию — нахождение первообразной (или интегрирование). При этом добавляется произвольная постоянная $C$, так как производная от любой константы равна нулю.

а) $f'(x) = 2x$

Шаг 1: Узнаём, какая функция при дифференцировании даёт $2x$.

$$\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$$

Шаг 2: Используем линейность производной:

$$f'(x) = 2x = \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(C)$$

где $\frac{d}{dx}(C) = 0$, поскольку производная константы равна нулю.

Шаг 3: Следовательно, исходная функция:

$$f(x) = x^2 + C$$

Ответ: $\boxed{f(x) = x^2 + C}$

б) $f'(x) = \cos x$

Шаг 1: Определяем, какая функция при дифференцировании даёт $\cos x$.

$$\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$$

Шаг 2: Расписываем:

$$f'(x) = \cos x = \frac{d}{dx}(\sin x) + \frac{d}{dx}(C)$$

Шаг 3: Значит, функция, производная от которой равна $\cos x$, это:

$$f(x) = \sin x + C$$

Ответ: $\boxed{f(x) = \sin x + C}$

в) $f'(x) = 3$

Шаг 1: Константа $3$ — это производная от линейной функции вида $ax$, где $a = 3$:

$$\frac{d}{dx}(3x) = 3$$

Шаг 2: С учётом произвольной константы:

$$f'(x) = 3 = \frac{d}{dx}(3x + C)$$

Шаг 3: Интегрируя:

$$f(x) = 3x + C$$

Ответ: $\boxed{f(x) = 3x + C}$

г) $f'(x) = -\sin x$

Шаг 1: Вспоминаем производную $\cos x$:

$$\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$$

Шаг 2: Тогда:

$$f'(x) = -\sin x = \frac{d}{dx}(\cos x) + \frac{d}{dx}(C)$$

Шаг 3: Следовательно:

$$f(x) = \cos x + C$$

Ответ: $\boxed{f(x) = \cos x + C}$