ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.6 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите производную функции:

а) $y = x^3 + 2x^5$;

б) $y = x^4 — x^9$;

в) $y = x^3 + 4x^{100}$;

г) $y = x^4 — 7x^9$

а) $y = x^3 + 2x^5$;
$y’ = (x^3)’ + 2(x^5)’ = 3x^2 + 2 \cdot 5x^4 = 3x^2 + 10x^4$;

б) $y = x^4 — x^9$;
$y’ = (x^4)’ — (x^9)’ = 4x^3 — 9x^8$;

в) $y = x^3 + 4x^{100}$;
$y’ = (x^3)’ + 4(x^{100})’ = 3x^2 + 4 \cdot 100x^{99} = 3x^2 + 400x^{99}$;

г) $y = x^4 — 7x^9$;
$y’ = (x^4)’ — 7(x^9)’ = 4x^3 — 7 \cdot 9x^8 = 4x^3 — 63x^8$

Напомним:

Формула производной степенной функции:

$$\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n — 1}$$

Производная суммы/разности функций:

$$(f(x) \pm g(x))’ = f'(x) \pm g'(x)$$

Производная с коэффициентом:

$$\frac{d}{dx}(a \cdot f(x)) = a \cdot f'(x)$$

а) $y = x^3 + 2x^5$

Шаг 1. Дана функция:

$$y = x^3 + 2x^5$$

Шаг 2. Применим правило суммы производных:

$$y’ = (x^3)’ + 2(x^5)’$$

Шаг 3. Найдём производные:

• $(x^3)’ = 3x^{3-1} = 3x^2$
• $(x^5)’ = 5x^{5-1} = 5x^4$

Шаг 4. Умножим на 2:

$$2(x^5)’ = 2 \cdot 5x^4 = 10x^4$$

Шаг 5. Складываем:

$$y’ = 3x^2 + 10x^4$$

Ответ:

$$y’ = 3x^2 + 10x^4$$

б) $y = x^4 — x^9$

Шаг 1. Дана функция:

$$y = x^4 — x^9$$

Шаг 2. Применим правило разности:

$$y’ = (x^4)’ — (x^9)’$$

Шаг 3. Посчитаем:

• $(x^4)’ = 4x^3$
• $(x^9)’ = 9x^8$

Шаг 4. Подставим:

$$y’ = 4x^3 — 9x^8$$

Ответ:

$$y’ = 4x^3 — 9x^8$$

в) $y = x^3 + 4x^{100}$

Шаг 1. Дана функция:

$$y = x^3 + 4x^{100}$$

Шаг 2. Используем правило суммы и коэффициента:

$$y’ = (x^3)’ + 4(x^{100})’$$

Шаг 3. Производные:

• $(x^3)’ = 3x^2$
• $(x^{100})’ = 100x^{99}$

Шаг 4. Умножаем на 4:

$$4(x^{100})’ = 4 \cdot 100x^{99} = 400x^{99}$$

Шаг 5. Складываем:

$$y’ = 3x^2 + 400x^{99}$$

Ответ:

$$y’ = 3x^2 + 400x^{99}$$

г) $y = x^4 — 7x^9$

Шаг 1. Дана функция:

$$y = x^4 — 7x^9$$

Шаг 2. Используем правило разности и коэффициента:

$$y’ = (x^4)’ — 7(x^9)’$$

Шаг 3. Найдём производные:

• $(x^4)’ = 4x^3$
• $(x^9)’ = 9x^8$

Шаг 4. Умножаем:

$$7(x^9)’ = 7 \cdot 9x^8 = 63x^8$$

Шаг 5. Вычтем:

$$y’ = 4x^3 — 63x^8$$

Ответ:

$$y’ = 4x^3 — 63x^8$$