ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.60 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Задайте аналитически функцию у = f(x), если графиком ее производной является:

a) парабола (рис. 98);

б) ломанная (рис. 102).

а) Парабола на рисунке 98:

$y’ = ax^2 + bx + c;$

Вершина параболы находится в точке $(0; -3)$:

$$-3 = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c;$$ $$c = -3;$$

Парабола проходит через точку $(2; 1)$:

$$1 = a \cdot 2^2 + b \cdot 2 — 3;$$ $$1 = 4a + 2b — 3;$$ $$4a + 2b = 4;$$ $$2a + b = 2;$$ $$b = 2 — 2a;$$

Парабола проходит через точку $(-2; 1)$:

$$1 = a \cdot (-2)^2 + b \cdot (-2) — 3;$$ $$1 = 4a — 2b — 3;$$ $$4a — 2b = 4;$$ $$2a — b = 2;$$ $$2a — (2 — 2a) = 2;$$ $$2a — 2 + 2a = 2;$$ $$4a = 4, \text{ отсюда } a = 1;$$ $$b = 2 — 2 \cdot 1 = 2 — 2 = 0;$$

Производная функции:

$$y’ = x^2 — 3 = \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} — 3 \cdot 1 + 0 = \frac{1}{3}(x^3)’ — (3x)’ + (C)’;$$

Ответ:

$$y = \frac{x^3}{3} — 3x + C.$$

б) Ломаная на рисунке 102:

$y’ = kx + b;$

Первый отрезок ломаной $(x < -2,5)$:
Проходит через точки $(-3; 2)$ и $(-2,5; 1)$:

$$\begin{cases} 2 = -3k + b \\ 1 = -2,5k + b \end{cases};$$ $$2 — 1 = -3k + 2,5k + b — b;$$ $$1 = -0,5k, \text{ отсюда } k = -2;$$ $$2 = -3 \cdot (-2) + b;$$ $$2 = 6 + b, \text{ отсюда } b = -4;$$ $$y’ = -2x — 4 = -2x^{2-1} — 4 \cdot 1 = -(x^2)’ — 4(x)’ + (C)’;$$ $$y = -x^2 — 4x + C;$$

Второй отрезок ломаной $(-2,5 < x < 1)$:
Проходит через точки $(-2,5; 1)$ и $(1; 2)$:

$$\begin{cases} 1 = -2,5k + b \\ 2 = k + b \end{cases};$$ $$1 — 2 = -2,5k — k + b — b;$$ $$-1 = -3,5k, \text{ отсюда } k = \frac{1}{3,5} = \frac{2}{7};$$ $$2 = \frac{2}{7} + b, \text{ отсюда } b = 2 — \frac{2}{7} = \frac{12}{7};$$ $$y’ = \frac{2}{7}x + \frac{12}{7} = \frac{2x^{2-1} + 12 \cdot 1}{7} + 0 = \frac{1}{7}((x^2)’ + (12x)’) + (C)’;$$ $$y = \frac{x^2 + 12x}{7} + C;$$

Третий отрезок ломаной $(x > 1)$:
Проходит через точки $(1; 2)$ и $(4; 0)$:

$$\begin{cases} 2 = k + b \\ 0 = 4k + b \end{cases};$$ $$2 — 0 = k — 4k + b — b;$$ $$2 = -3k, \text{ отсюда } k = -\frac{2}{3};$$ $$2 = -\frac{2}{3} + b, \text{ отсюда } b = 2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{3};$$ $$y’ = -\frac{2}{3}x + \frac{8}{3} = \frac{-2x^{2-1} + 8 \cdot 1}{3} + 0 = \frac{1}{3}(-(x^2)’ + (8x)’) + (C)’;$$ $$y = \frac{-x^2 + 8x}{3} + C = \frac{8x — x^2}{3} + C;$$

Ответ:

$$y = \begin{cases} -x^2 — 4x + C, & \text{если } x < -2,5 \\ \frac{x^2 + 12x}{7} + C, & \text{если } -2,5 < x < 1 \\ \frac{8x — x^2}{3} + C, & \text{если } x > 1 \end{cases}.$$

а) Парабола на рисунке 98

Пусть производная функции — это квадратичная функция:

$$y'(x) = ax^2 + bx + c$$

1. Используем координаты вершины $(0; -3)$:

Подставим в уравнение функции (а не её производной!):

$$y(0) = -3 \Rightarrow a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = -3 \Rightarrow c = -3$$

2. Парабола проходит через точку $(2; 1)$:

Это снова точка на графике функции $y(x)$, значит:

$$y(2)=1=a\cdot 2^2+b\cdot 2+c=4a+2b-3\Rightarrow$$

$$y(2) = 1 = a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + c = 4a + 2b — 3 \Rightarrow 4a + 2b = 4 \Rightarrow 2a + b = 2$$

3. Парабола проходит через точку $(-2; 1)$:

$$y(-2)=1=a\cdot (-2{)}^2+b\cdot (-2)+c=4a-2b-3\Rightarrow$$

$$y(-2) = 1 = a \cdot (-2)^2 + b \cdot (-2) + c = 4a — 2b — 3 \Rightarrow 4a — 2b = 4 \Rightarrow 2a — b = 2$$

4. Решаем систему уравнений:

$$\begin{cases} 2a + b = 2 \\ 2a — b = 2 \end{cases}$$

Сложим уравнения:

$$(2a + b) + (2a — b) = 2 + 2 \Rightarrow 4a = 4 \Rightarrow a = 1$$

Подставим $a = 1$ в первое:

$$2 \cdot 1 + b = 2 \Rightarrow b = 0$$

Значит:

• $a = 1$
• $b = 0$
• $c = -3$

5. Итак, производная функции:

$$y'(x) = x^2 — 3$$

Теперь найдём саму функцию $y(x)$ — проинтегрируем:

$$y(x) = \int (x^2 — 3)\,dx = \int x^2\,dx — \int 3\,dx$$

1. $\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}$
2. $\int 3\,dx = 3x$

Добавим произвольную постоянную $C$:

$$y(x) = \frac{x^3}{3} — 3x + C$$

Ответ:

$$\boxed{y = \frac{x^3}{3} — 3x + C}$$

б) Ломаная на рисунке 102

Производная $y'(x)$ — кусочная линейная функция:
$y'(x) = kx + b$ на каждом отрезке.

1) Первый отрезок: $x < -2{,}5$

Проходит через точки $(-3; 2)$ и $(-2.5; 1)$. Это значения производной $y’$ в этих точках.

Запишем систему:

$$\begin{cases} 2 = -3k + b \\ 1 = -2.5k + b \end{cases}$$

Вычтем:

$$(2 — 1) = (-3 + 2.5)k \Rightarrow 1 = -0.5k \Rightarrow k = -2$$

Подставим в первое:

$$2 = -3(-2) + b \Rightarrow 2 = 6 + b \Rightarrow b = -4$$

Производная:

$$y'(x) = -2x — 4$$

Интегрируем:

$$y(x) = \int (-2x — 4)\,dx = -\int 2x\,dx — \int 4\,dx$$

$\int 2x\,dx = x^2$

$\int 4\,dx = 4x$

$$y(x) = -x^2 — 4x + C$$

2) Второй отрезок: $-2{,}5 < x < 1$

Проходит через $(-2.5; 1)$ и $(1; 2)$. Это значения $y'(x)$, подставим:

$$\begin{cases} 1 = -2.5k + b \\ 2 = k + b \end{cases}$$

Вычтем:

$$-1 = -3.5k \Rightarrow k = \frac{2}{7}$$

Подставим во второе:

$$2 = \frac{2}{7} + b \Rightarrow b = 2 — \frac{2}{7} = \frac{12}{7}$$

Производная:

$$y'(x) = \frac{2}{7}x + \frac{12}{7}$$

Интегрируем:

$$y(x) = \int \left(\frac{2}{7}x + \frac{12}{7} \right)\,dx = \frac{2}{7} \int x\,dx + \frac{12}{7} \int 1\,dx$$

$\int x\,dx = \frac{x^2}{2} \Rightarrow \frac{2}{7} \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^2}{7}$

$\frac{12}{7} \cdot x = \frac{12x}{7}$

$$y(x) = \frac{x^2}{7} + \frac{12x}{7} + C = \frac{x^2 + 12x}{7} + C$$

3) Третий отрезок: $x > 1$

Проходит через точки $(1; 2)$ и $(4; 0)$:

$$\begin{cases} 2 = k + b \\ 0 = 4k + b \end{cases}$$

Вычтем:

$$2 = k — 4k \Rightarrow 2 = -3k \Rightarrow k = -\frac{2}{3}$$

Подставим:

$$2 = -\frac{2}{3} + b \Rightarrow b = 2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$$

Производная:

$$y'(x) = -\frac{2}{3}x + \frac{8}{3}$$

Интегрируем:

$$y(x) = \int \left(-\frac{2}{3}x + \frac{8}{3} \right)\,dx = -\frac{2}{3} \int x\,dx + \frac{8}{3} \int 1\,dx$$

1. $-\frac{2}{3} \cdot \frac{x^2}{2} = -\frac{x^2}{3}$
2. $\frac{8x}{3}$

$$y(x) = -\frac{x^2}{3} + \frac{8x}{3} + C = \frac{8x — x^2}{3} + C$$

Ответ (в виде кусочной функции):

$$\boxed{ y(x) = \begin{cases} -x^2 — 4x + C, & \text{если } x < -2{,}5 \\ \frac{x^2 + 12x}{7} + C, & \text{если } -2{,}5 < x < 1 \\ \frac{8x — x^2}{3} + C, & \text{если } x > 1 \end{cases} }$$