ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.61 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) При каких значениях $x$ верно равенство $y’ \cdot y + y^2 = 0$, если $y = 2 \sin x$?

б) При каких значениях $x$ верно равенство $y^2 + (y’)^2 = 1$, если $y = \sqrt{x}$?

a) $y = 2 \sin x$;

$$y’ = 2 (\sin x)’ = 2 \cos x;$$ $$y^2 = 2^2 \cdot \sin^2 x = 4 \sin^2 x;$$

Уравнение:

$$y’ \cdot y + y^2 = 0;$$ $$2 \cos x \cdot 2 \sin x + 4 \sin^2 x = 0;$$ $$4 (\cos x \cdot \sin x + \sin^2 x) = 0;$$ $$\sin x (\cos x + \sin x) = 0;$$

$\sin x = 0$;

$$x = \arcsin 0 + 2\pi n = 0;$$

$\cos x + \sin x = 0 \quad | : \cos x$;

$$1 + \operatorname{tg} x = 0;$$ $$\operatorname{tg} x = -1;$$ $$x = \operatorname{arctg}(-1) + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, $\pi n$

б) $y = \sqrt{x}$;

$$y’ = (\sqrt{x})’ = \frac{1}{2\sqrt{x}};$$ $$(y’)^2 = \left( \frac{1}{2\sqrt{x}} \right)^2 = \frac{1}{4x};$$ $$y^2 = (\sqrt{x})^2 = x;$$

Уравнение:

$$y^2 + (y’)^2 = 1;$$ $$x + \frac{1}{4x} = 1 \quad | \cdot 4x;$$ $$4x^2 + 1 = 4x;$$ $$4x^2 — 4x + 1 = 0;$$ $$(2x — 1)^2 = 0;$$ $$2x — 1 = 0;$$ $$2x = 1, \text{ отсюда } x = \frac{1}{2};$$

Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

а) $y = 2\sin x$

Найти все $x$, при которых выполняется уравнение:

$$y’ \cdot y + y^2 = 0$$

1. Найдём производную функции $y = 2\sin x$:

$$y’ = \frac{d}{dx}[2 \sin x] = 2 \cdot \cos x$$

2. Найдём квадрат функции $y^2$:

$$y^2 = (2\sin x)^2 = 4\sin^2 x$$

3. Подставим $y$, $y’$, и $y^2$ в уравнение:

$$y’ \cdot y + y^2 = (2 \cos x)(2 \sin x) + 4 \sin^2 x$$ $$= 4 \cos x \cdot \sin x + 4 \sin^2 x = 4 (\cos x \sin x + \sin^2 x)$$

4. Получаем уравнение:

$$4 (\sin x \cdot \cos x + \sin^2 x) = 0 \Rightarrow \sin x (\cos x + \sin x) = 0$$

Теперь найдём решения каждого множителя:

5. Первый случай: $\sin x = 0$

Решаем:

$$\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

6. Второй случай: $\cos x + \sin x = 0$

Разделим на $\cos x$ (где $\cos x \ne 0$):

$$\cos x + \sin x = 0 \Rightarrow 1 + \tan x = 0 \Rightarrow \tan x = -1$$

Решение:

$$x = \arctan(-1) + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ а):

$$\boxed{x = -\frac{\pi}{4} + \pi n} \quad \text{и} \quad \boxed{x = \pi n}$$

б) $y = \sqrt{x}$

Найти все $x > 0$, при которых:

$$y^2 + (y’)^2 = 1$$

1. Найдём производную $y = \sqrt{x} = x^{1/2}$:

$$y’ = \frac{d}{dx}(x^{1/2}) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

2. Найдём $(y’)^2$:

$$(y’)^2 = \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)^2 = \frac{1}{4x}$$

3. Найдём $y^2$:

$$y^2 = (\sqrt{x})^2 = x$$

4. Подставим всё в уравнение:

$$x + \frac{1}{4x} = 1$$

Умножим обе части уравнения на $4x$ (при $x > 0$):

$$4x^2 + 1 = 4x \Rightarrow 4x^2 — 4x + 1 = 0$$

5. Решим квадратное уравнение:

$$4x^2 — 4x + 1 = 0$$

Видим, что дискриминант:

$$D=(-4{)}^2-4\cdot 4\cdot 1=16-16=0\Rightarrow$$

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 — 16 = 0 \Rightarrow \text{один корень: } x = \frac{4}{2 \cdot 4} = \frac{1}{2}$$

или по формуле:

$$x = \frac{4 \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$

Ответ б):

$$\boxed{x = \frac{1}{2}}$$