ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.64 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите вторую производную функции:

а) $y = x^4 + 2x$;

б) $y = x^5 — 3x$;

в) $y = \sin x + 1$;

г) $y = 2\cos x — 4$

а) $y = x^4 + 2x$;
$y’ = (x^4)’ + (2x)’ = 4x^3 + 2$;
$y» = 4(x^3)’ + (2)’ = 4 \cdot 3x^2 + 0 = 12x^2$;

б) $y = x^5 — 3x$;
$y’ = (x^5)’ — (3x)’ = 5x^4 — 3$;
$y» = 5(x^4)’ — (3)’ = 5 \cdot 4x^3 — 0 = 20x^3$;

в) $y = \sin x + 1$;
$y’ = (\sin x)’ + (1)’ = \cos x + 0 = \cos x$;
$y» = (\cos x)’ = -\sin x$;

г) $y = 2\cos x — 4$;
$y’ = 2(\cos x)’ — (4)’ = 2 \cdot (-\sin x) — 0 = -2\sin x$;
$y» = -2(\sin x)’ = -2\cos x$

а) $y = x^4 + 2x$

1. Первая производная $y’$:

Функция состоит из двух слагаемых: $x^4$ и $2x$

• Производная от $x^n$ по правилу степени:

  $$\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n — 1}$$

• Производная от $ax$, где $a$ — число:

  $$\frac{d}{dx}(ax) = a$$

Применим:

$$y’ = \frac{d}{dx}(x^4) + \frac{d}{dx}(2x) = 4x^3 + 2$$

2. Вторая производная $y»$:

Берём производную от $y’ = 4x^3 + 2$:

• $\frac{d}{dx}(4x^3) = 4 \cdot 3x^2 = 12x^2$
• $\frac{d}{dx}(2) = 0$

$$y» = 12x^2$$

Ответ: ${}^{}$$y’ = 4x^3 + 2$, $y» = 12x^2$

б) $y = x^5 — 3x$

1. Первая производная $y’$:

$$y’ = \frac{d}{dx}(x^5) — \frac{d}{dx}(3x) = 5x^4 — 3$$

2. Вторая производная $y»$:

Берём производную от $y’ = 5x^4 — 3$:

• $\frac{d}{dx}(5x^4) = 5 \cdot 4x^3 = 20x^3$
• $\frac{d}{dx}(-3) = 0$

$$y» = 20x^3$$

Ответ: $$$y’ = 5x^4 — 3$, $y» = 20x^3$

в) $y = \sin x + 1$

1. Первая производная $y’$:

$$y’ = \frac{d}{dx}(\sin x) + \frac{d}{dx}(1) = \cos x + 0 = \cos x$$

2. Вторая производная $y»$:

$$y» = \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$$

Ответ: $$$y’ = \cos x$, $y» = -\sin x$

г) $y = 2\cos x — 4$

1. Первая производная $y’$:

• Производная от $2\cos x$:
  $\frac{d}{dx}(2\cos x) = 2 \cdot (-\sin x) = -2\sin x$
• Производная от константы $-4$:
  $\frac{d}{dx}(-4) = 0$

$$y’ = -2\sin x$$

2. Вторая производная $y»$:

$$y» = \frac{d}{dx}(-2\sin x) = -2 \cdot \cos x = -2\cos x$$

Ответ: $$$y’ = -2\sin x$, $y» = -2\cos x$