ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.67 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) При каких значениях $x$ верно равенство $y» + y’ — y = 0$, если $y = 3 \cos x$?

б) При каких значениях $x$ верно равенство $(y»)^2 + 2y’ = y^2 + 1$, если $y = \sin x$?

а) $y = 3 \cos x$;
$y’ = 3 (\cos x)’ = -3 \sin x$;
$y» = -3 (\sin x)’ = -3 \cos x$;

Уравнение:
$y» + y’ — y = 0$;
$-3 \cos x — 3 \sin x — 3 \cos x = 0$;
$-3 \sin x — 6 \cos x = 0$;
$-3 (\sin x + 2 \cos x) = 0$;
$\sin x + 2 \cos x = 0 \quad | : \cos x$;
$\operatorname{tg} x + 2 = 0$;
$\operatorname{tg} x = -2$;
$x = \operatorname{arctg}(-2) + \pi n$;
Ответ: $x = \operatorname{arctg} 2 + \pi n$.

б) $y = \sin x$;
$y’ = (\sin x)’ = \cos x$;
$y» = (\cos x)’ = -\sin x$;
$(y»)^2 = (-\sin x)^2 = \sin^2 x$;

Уравнение:
$(y»)^2 + 2y’ = y^2 + 1$;
$\sin^2 x + 2 \cos x = \sin^2 x + 1$;
$2 \cos x = 1$;
$\cos x = \frac{1}{2}$;
$x = \pm \operatorname{arccos} \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$;
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

а) При каких значениях $x$ верно равенство $y» + y’ — y = 0$, если $y = 3 \cos x$?

Шаг 1. Найдём первую производную $y’$:

$$y = 3 \cos x$$ $$y’ = \frac{d}{dx}(3 \cos x) = 3 \cdot \frac{d}{dx}(\cos x) = 3 \cdot (-\sin x) = -3 \sin x$$

Шаг 2. Найдём вторую производную $y»$:

$$y’ = -3 \sin x$$ $$y» = \frac{d}{dx}(-3 \sin x) = -3 \cdot \frac{d}{dx}(\sin x) = -3 \cdot \cos x = -3 \cos x$$

Шаг 3. Подставим $y$, $y’$, $y»$ в уравнение $y» + y’ — y = 0$:

$$y» + y’ — y = (-3 \cos x) + (-3 \sin x) — (3 \cos x)$$

Шаг 4. Упростим выражение:

$$-3 \cos x — 3 \sin x — 3 \cos x = -3 \sin x — 6 \cos x$$

Шаг 5. Вынесем общий множитель:

$$-3 (\sin x + 2 \cos x) = 0$$

Шаг 6. Решим уравнение:

$$-3 (\sin x + 2 \cos x) = 0 \quad \Rightarrow \quad \sin x + 2 \cos x = 0$$

Шаг 7. Разделим обе части на $\cos x$, чтобы получить уравнение через тангенс:

$$\frac{\sin x}{\cos x} + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad \tg x + 2 = 0$$ $$\tg x = -2$$

Шаг 8. Общее решение уравнения $\tg x = -2$:

$$x = \arctg(-2) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Так как $\arctg(-2) = -\arctg 2$, можно переписать:

$$x = -\arctg 2 + \pi n$$

Это эквивалентно:

$$x = \arctg 2 + \pi n$$

(так как функция $\tg x$ — периодическая с периодом $\pi$)

Ответ а):

$$x = \arctg 2 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

б) При каких значениях $x$ верно равенство $(y»)^2 + 2y’ = y^2 + 1$, если $y = \sin x$?

Шаг 1. Найдём первую производную $y’$:

$$y = \sin x$$ $$y’ = \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$$

Шаг 2. Найдём вторую производную $y»$:

$$y» = \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$$

Шаг 3. Вычислим $(y»)^2$:

$$(y»)^2 = (-\sin x)^2 = \sin^2 x$$

Шаг 4. Подставим в уравнение:

$$(y»)^2 + 2y’ = y^2 + 1$$

Подставим:

$$\sin^2 x + 2 \cos x = \sin^2 x + 1$$

Шаг 5. Упростим обе части:

Левая часть:

$$\sin^2 x + 2 \cos x$$

Правая часть:

$$\sin^2 x + 1$$

Вычтем $\sin^2 x$ из обеих частей:

$$2 \cos x = 1$$

Шаг 6. Решим уравнение:

$$\cos x = \frac{1}{2}$$

Шаг 7. Найдём общее решение:

$$\cos x = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n$$ $$\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$$ $$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ б):

$$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$