ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.69 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Строится мост параболической формы, соединяющий пункты А и Б, расстояние между которыми равно 200 м. Въезд на мост и съезд с моста должны быть прямолинейными участками пути, эти участки направлены к горизонту под углом 15°. Указанные прямые должны быть касательными к параболе. Составьте уравнение профиля моста в заданной системе координат (рис. 89).

Точки $A$ и $B$ равноудалены от начала координат и длина моста составляет 200 метров, значит координаты этих точек равны:
$A(-100; 0) \text{ и } B(100; 0);$

Уравнение профиля моста (параболы):
$y = ax^2 + c;$
$y’ = a(x^2)’ + (c)’ = 2ax + 0 = 2ax;$

Тангенс угла наклона касательной к функции равен производной от функции в данной точке, то есть в точке $A$:
$y'(-100) = 2ax = \operatorname{tg} 15^\circ;$
$2a \cdot (-100) = \operatorname{tg} 15^\circ;$
$-200a = \operatorname{tg} 15^\circ;$
$a = \frac{\operatorname{tg} 15^\circ}{-200};$

Значение функции в точке $B$:
$y = ax^2 + c;$
$0 = a(100^2) + c;$
$0 = 10000a + c;$
$c = -10000a = -10000 \cdot \left( -\frac{\operatorname{tg} 15^\circ}{200} \right) = 50 \operatorname{tg} 15^\circ;$

Искомое уравнение:
$y = \frac{\operatorname{tg} 15^\circ}{200} x^2 + 50 \operatorname{tg} 15^\circ = \operatorname{tg} 15^\circ \left( 50 — \frac{x^2}{200} \right);$

Ответ: $$$y = \operatorname{tg} 15^\circ \left( 50 — \frac{x^2}{200} \right).$

Условие задачи:

Строится мост параболической формы, соединяющий пункты $A$ и $B$, расстояние между которыми 200 метров.
Въезд на мост и съезд с моста — это прямолинейные участки, наклонённые к горизонту под углом 15°.
Эти прямые являются касательными к параболе.

Нужно найти уравнение профиля моста в заданной системе координат (см. рисунок 89).

Шаг 1: Система координат

Выберем систему координат так:

• Ось $x$ направлена горизонтально, $y$ — вертикально вверх.
• Начало координат — посередине между точками $A$ и $B$.
• Тогда:

  $$A(-100, 0), \quad B(100, 0)$$

  (расстояние между ними — 200 м).

Шаг 2: Уравнение параболы

Пусть профиль моста описывается уравнением параболы:

$$y = ax^2 + c$$

Почему такой вид?

• Нет линейного члена $bx$, потому что парабола симметрична относительно оси $y$,
• Вершина параболы находится на оси $y$ (по центру моста),
• Парабола направлена вверх.

Шаг 3: Производная функции

Найдём производную — это угловой коэффициент касательной в любой точке $x$:

$$y = ax^2 + c \Rightarrow y’ = 2ax$$

Шаг 4: Используем угол касательной

По условию, касательные (въезд и съезд) наклонены под углом $15^\circ$ к горизонту.

Значит, в точке $A(-100, 0)$, наклон касательной:

$$y'(-100) = 2a(-100) = -200a = \tg 15^\circ$$

Выразим $a$:

$$a = \frac{-\tg 15^\circ}{200}$$

Шаг 5: Найдём $c$, подставив точку $B(100, 0)$

$$y=a{x}^2+c\Rightarrow 0=a(100{)}^2+c\Rightarrow$$

$$y = ax^2 + c \Rightarrow 0 = a(100)^2 + c \Rightarrow 0 = 10000a + c \Rightarrow c = -10000a$$

Подставим $a = \frac{-\tg 15^\circ}{200}$:

$$c = -10000 \cdot \left( -\frac{\tg 15^\circ}{200} \right) = 50 \cdot \tg 15^\circ$$

Шаг 6: Подставим $a$ и $c$ в уравнение

$$y = ax^2 + c = -\frac{\tg 15^\circ}{200}x^2 + 50 \cdot \tg 15^\circ$$

Вынесем $\tg 15^\circ$ за скобки:

$$y = \tg 15^\circ \left( 50 — \frac{x^2}{200} \right)$$

Ответ (уравнение профиля моста):

$$\boxed{y = \tg 15^\circ \left( 50 — \frac{x^2}{200} \right)}$$