ГДЗ Мордкович 10 Класс Профильный Уровень по Алгебре Задачник 📕 — Все Части

Алгебра Профильный Уровень

10 класс задачник профильный уровень Мордкович

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.

Год

2015-2020.

Издательство

Мнемозина.

Описание

Задачник «Алгебра. 10 класс» под авторством А.Г. Мордковича — это один из самых популярных учебных материалов для старшеклассников, изучающих алгебру на профильном уровне. Книга давно зарекомендовала себя как надежный помощник в подготовке к экзаменам и олимпиадам, а также в углубленном изучении математики.

ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Задача

а)

$\sqrt{x} = 2 - x;$ б)

$\sqrt{7 - x} = x - 1;$

в)

$\sqrt{x + 2} = x;$

г)

$\sqrt{12 - x} = x$

Краткий ответ:

а)

$\sqrt{x} = 2 - x;$ $x = (2 - x)^{2};$ $x = 4 - 4 x + x^{2};$ $x^{2} - 5 x + 4 = 0;$ $D = 5^{2} - 4 \cdot 4 = 25 - 16 = 9;$

тогда:

$x_{1} = \frac{5 - 3}{2} = 1 и x_{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4;$

Выражение имеет смысл при:

$x \geq 0;$

Уравнение имеет решения при:

$2 - x \geq 0;$ $x \leq 2;$

Ответ: $x = 1$ .

б)

$\sqrt{7 - x} = x - 1;$ $7 - x = (x - 1)^{2};$ $7 - x = x^{2} - 2 x + 1;$ $x^{2} - x - 6 = 0;$ $D = 1^{2} + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25;$

тогда:

$x_{1} = \frac{1 - 5}{2} = - 2 и x_{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3;$

Выражение имеет смысл при:

$7 - x \geq 0;$ $x \leq 7;$

Уравнение имеет решения при:

$x - 1 \geq 0;$ $x \geq 1;$

Ответ: $x = 3$ .

в)

$\sqrt{x + 2} = x;$ $x + 2 = x^{2};$ $x^{2} - x - 2 = 0;$ $D = 1^{2} + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9;$

тогда:

$x_{1} = \frac{1 - 3}{2} = - 1 и x_{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2;$

Выражение имеет смысл при:

$x + 2 \geq 0;$ $x \geq - 2;$

Уравнение имеет решения при:

$x \geq 0;$

Ответ: $x = 2$ .

г)

$\sqrt{12 - x} = x;$ $12 - x = x^{2};$ $x^{2} + x - 12 = 0;$ $D = 1^{2} + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49;$

тогда:

$x_{1} = \frac{- 1 - 7}{2} = - 4 и x_{2} = \frac{- 1 + 7}{2} = 3;$

Выражение имеет смысл при:

$12 - x \geq 0;$ $x \leq 12;$

Уравнение имеет решения при:

$x \geq 0;$

Ответ: $x = 3$ .

Подробный ответ:

а)

$\sqrt{x} = 2 - x$

1. Область допустимых значений (ОДЗ):

Для уравнения с корнем нужно определить, при каких $x$ выражение имеет смысл.
Корень $\sqrt{x}$ определён только при:

$\begin{matrix} x \geq 0 & (1) \end{matrix}$

Также правая часть $2 - x$ должна быть неотрицательной, потому что результат корня не может быть отрицательным:

$\begin{matrix} 2 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 2 & (2) \end{matrix}$

Совместим (1) и (2):

$0 \leq x \leq 2$

2. Возведение обеих частей в квадрат:

Чтобы избавиться от корня, возводим обе части в квадрат:

$(\sqrt{x})^{2} = (2 - x)^{2} \Rightarrow x = (2 - x)^{2}$

3. Раскрытие скобок справа:

$(2 - x)^{2} = 4 - 4 x + x^{2} \Rightarrow x = 4 - 4 x + x^{2}$

4. Перенос всех слагаемых в одну сторону:

$x - 4 + 4 x - x^{2} = 0 \Rightarrow - x^{2} + 5 x - 4 = 0$

Умножим на $- 1$ , чтобы сделать старший коэффициент положительным:

$x^{2} - 5 x + 4 = 0$

5. Решаем квадратное уравнение:

$D = b^{2} - 4 a c = (- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$ $x_{1, 2} = \frac{- (- 5) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 3}{2}$ $x_{1} = \frac{5 - 3}{2} = 1, x_{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4$

6. Проверка на принадлежность ОДЗ:

ОДЗ: $0 \leq x \leq 2$

$x = 1$ — входит
$x = 4$ — не входит (4 > 2)

7. Подстановка в исходное уравнение:

$x = 1 \Rightarrow \sqrt{1} = 2 - 1 \Rightarrow 1 = 1$
$x = 4 \Rightarrow \sqrt{4} = 2 - 4 \Rightarrow 2 = - 2$ — не подходит

Ответ:

$x = 1$

б)

$\sqrt{7 - x} = x - 1$

1. ОДЗ:

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $\begin{matrix} 7 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 7 & (1) \end{matrix}$
Правая часть $x - 1$ должна быть ≥ 0, так как левая часть (корень) не может быть отрицательной: $\begin{matrix} x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1 & (2) \end{matrix}$

Совместим:

$1 \leq x \leq 7$

2. Возведение в квадрат:

$(\sqrt{7 - x})^{2} = (x - 1)^{2} \Rightarrow 7 - x = x^{2} - 2 x + 1$

3. Перенос всех слагаемых в одну сторону:

$7 - x - x^{2} + 2 x - 1 = 0 \Rightarrow - x^{2} + x + 6 = 0$

Умножим на $- 1$ :

$x^{2} - x - 6 = 0$

4. Решение квадратного уравнения:

$D = (- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6) = 1 + 24 = 25$ $x_{1, 2} = \frac{- (- 1) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 5}{2} \Rightarrow x_{1} = \frac{- 4}{2} = - 2, x_{2} = \frac{6}{2} = 3$

5. Проверка на принадлежность ОДЗ:

ОДЗ: $1 \leq x \leq 7$

$x = - 2$ — не входит
$x = 3$ — входит

6. Проверка подстановкой:

$x = 3 \Rightarrow \sqrt{7 - 3} = 3 - 1 \Rightarrow \sqrt{4} = 2 \Rightarrow 2 = 2$

Ответ:

$x = 3$

в)

$\sqrt{x + 2} = x$

1. ОДЗ:

Подкоренное выражение должно быть ≥ 0:

$\begin{matrix} x + 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq - 2 & (1) \end{matrix}$

Правая часть $x \geq 0$ , так как корень не может быть отрицательным:

$\begin{matrix} x \geq 0 & (2) \end{matrix}$

Совместим:

$x \geq 0$

2. Возводим обе части в квадрат:

$x + 2 = x^{2} \Rightarrow x^{2} - x - 2 = 0$

3. Решаем квадратное уравнение:

$D = (- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) = 1 + 8 = 9$ $x_{1, 2} = \frac{1 \pm 3}{2} \Rightarrow x_{1} = - 1, x_{2} = 2$

4. Проверка на принадлежность ОДЗ:

$x = - 1$ — не входит
$x = 2$ — входит

5. Проверка подстановкой:

$x = 2 \Rightarrow \sqrt{2 + 2} = 2 \Rightarrow \sqrt{4} = 2 \Rightarrow 2 = 2$

Ответ:

$x = 2$

г)

$\sqrt{12 - x} = x$

1. ОДЗ:

Подкоренное выражение должно быть ≥ 0:

$\begin{matrix} 12 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 12 & (1) \end{matrix}$

Правая часть $x \geq 0$ , так как корень не может быть отрицательным:

$\begin{matrix} x \geq 0 & (2) \end{matrix}$

Совместим:

$0 \leq x \leq 12$

2. Возведение обеих частей в квадрат:

$12 - x = x^{2} \Rightarrow x^{2} + x - 12 = 0$

3. Решение квадратного уравнения:

$D = 1^{2} + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49$ $x_{1, 2} = \frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{- 1 \pm 7}{2} \Rightarrow x_{1} = \frac{- 8}{2} = - 4, x_{2} = \frac{6}{2} = 3$

4. Проверка на ОДЗ:

$x = - 4$ — не входит
$x = 3$ — входит

5. Проверка подстановкой:

$x = 3 \Rightarrow \sqrt{12 - 3} = 3 \Rightarrow \sqrt{9} = 3 \Rightarrow 3 = 3$

Ответ:

$x = 3$

Оцени решение