ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а)

$$\sqrt{x}=2-x;$$$$x=(2-x{)}^2;$$$$x=4-4x+x^2;$$$$x^2-5x+4=0;$$$$D=5^2-4\cdot 4=25-16=9;$$

тогда:

$$x_1=\frac{5-3}{2}=1\text{и}{x}_2=\frac{5+3}{2}=4;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x\ge 0;$$

Уравнение имеет решения при:

$$2-x\ge 0;$$$$x\le 2;$$

Ответ: $x=1$.

б)

$$\sqrt{7-x}=x-1;$$$$7-x=(x-1{)}^2;$$$$7-x=x^2-2x+1;$$$$x^2-x-6=0;$$$$D=1^2+4\cdot 6=1+24=25;$$

тогда:

$$x_1=\frac{1-5}{2}=-2\text{и}{x}_2=\frac{1+5}{2}=3;$$

Выражение имеет смысл при:

$$7-x\ge 0;$$$$x\le 7;$$

Уравнение имеет решения при:

$$x-1\ge 0;$$$$x\ge 1;$$

Ответ: $x=3$.

в)

$$\sqrt{x+2}=x;$$$$x+2=x^2;$$$$x^2-x-2=0;$$$$D=1^2+4\cdot 2=1+8=9;$$

тогда:

$$x_1=\frac{1-3}{2}=-1\text{и}{x}_2=\frac{1+3}{2}=2;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x+2\ge 0;$$$$x\ge -2;$$

Уравнение имеет решения при:

$$x\ge 0;$$

Ответ: $x=2$.

г)

$$\sqrt{12-x}=x;$$$$12-x=x^2;$$$$x^2+x-12=0;$$$$D=1^2+4\cdot 12=1+48=49;$$

тогда:

$$x_1=\frac{-1-7}{2}=-4\text{и}{x}_2=\frac{-1+7}{2}=3;$$

Выражение имеет смысл при:

$$12-x\ge 0;$$$$x\le 12;$$

Уравнение имеет решения при:

$$x\ge 0;$$

Ответ: $x=3$.

а)

$$\sqrt{x}=2-x$$

1. Область допустимых значений (ОДЗ):

Для уравнения с корнем нужно определить, при каких $x$ выражение имеет смысл.
Корень $\sqrt{x}$ определён только при:

$$\begin{array}{cccc}& x\ge 0& & \text{(1)}\end{array}$$

Также правая часть $2-x$ должна быть неотрицательной, потому что результат корня не может быть отрицательным:

$$\begin{array}{cccc}& 2-x\ge 0\Rightarrow x\le 2& & \text{(2)}\end{array}$$

Совместим (1) и (2):

$$\boxed{{\displaystyle 0\le x\le 2}}$$

2. Возведение обеих частей в квадрат:

Чтобы избавиться от корня, возводим обе части в квадрат:

$$(\sqrt{x}{)}^2=(2-x{)}^2\Rightarrow x=(2-x{)}^2$$

3. Раскрытие скобок справа:

$$(2-x{)}^2=4-4x+x^2\Rightarrow x=4-4x+x^2$$

4. Перенос всех слагаемых в одну сторону:

$$x-4+4x-x^2=0\Rightarrow -x^2+5x-4=0$$

Умножим на $-1$, чтобы сделать старший коэффициент положительным:

$$x^2-5x+4=0$$

5. Решаем квадратное уравнение:

$$D=b^2-4ac=(-5{)}^2-4\cdot 1\cdot 4=25-16=9$$$$x_{1,2}=\frac{-(-5)\pm \sqrt{9}}{2\cdot 1}=\frac{5\pm 3}{2}$$$$x_1=\frac{5-3}{2}=1,x_2=\frac{5+3}{2}=4$$

6. Проверка на принадлежность ОДЗ:

ОДЗ: $0\le x\le 2$

• $x=1$ — входит
• $x=4$ — не входит (4 > 2)

7. Подстановка в исходное уравнение:

• $x=1\Rightarrow \sqrt{1}=2-1\Rightarrow 1=1$
• $x=4\Rightarrow \sqrt{4}=2-4\Rightarrow 2=-2$ — не подходит

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle x=1}}$$

б)

$$\sqrt{7-x}=x-1$$

1. ОДЗ:

• Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:$$\begin{array}{cccc}& 7-x\ge 0\Rightarrow x\le 7& & \text{(1)}\end{array}$$
• Правая часть $x-1$ должна быть ≥ 0, так как левая часть (корень) не может быть отрицательной:$$\begin{array}{cccc}& x-1\ge 0\Rightarrow x\ge 1& & \text{(2)}\end{array}$$

Совместим:

$$\boxed{{\displaystyle 1\le x\le 7}}$$

2. Возведение в квадрат:

$$(\sqrt{7-x}{)}^2=(x-1{)}^2\Rightarrow 7-x=x^2-2x+1$$

3. Перенос всех слагаемых в одну сторону:

$$7-x-x^2+2x-1=0\Rightarrow -x^2+x+6=0$$

Умножим на $-1$:

$$x^2-x-6=0$$

4. Решение квадратного уравнения:

$$D=(-1{)}^2-4\cdot 1\cdot (-6)=1+24=25$$$$x_{1,2}=\frac{-(-1)\pm \sqrt{25}}{2\cdot 1}=\frac{1\pm 5}{2}\Rightarrow x_1=\frac{-4}{2}=-2,x_2=\frac{6}{2}=3$$

5. Проверка на принадлежность ОДЗ:

ОДЗ: $1\le x\le 7$

• $x=-2$ — не входит
• $x=3$ — входит

6. Проверка подстановкой:

• $x=3\Rightarrow \sqrt{7-3}=3-1\Rightarrow \sqrt{4}=2\Rightarrow 2=2$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle x=3}}$$

в)

$$\sqrt{x+2}=x$$

1. ОДЗ:

• Подкоренное выражение должно быть ≥ 0:

$$\begin{array}{cccc}& x+2\ge 0\Rightarrow x\ge -2& & \text{(1)}\end{array}$$

• Правая часть $x\ge 0$, так как корень не может быть отрицательным:

$$\begin{array}{cccc}& x\ge 0& & \text{(2)}\end{array}$$

Совместим:

$$\boxed{{\displaystyle x\ge 0}}$$

2. Возводим обе части в квадрат:

$$x+2=x^2\Rightarrow x^2-x-2=0$$

3. Решаем квадратное уравнение:

$$D=(-1{)}^2-4\cdot 1\cdot (-2)=1+8=9$$$$x_{1,2}=\frac{1\pm 3}{2}\Rightarrow x_1=-1,x_2=2$$

4. Проверка на принадлежность ОДЗ:

• $x=-1$ — не входит
• $x=2$ — входит

5. Проверка подстановкой:

• $x=2\Rightarrow \sqrt{2+2}=2\Rightarrow \sqrt{4}=2\Rightarrow 2=2$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle x=2}}$$

г)

$$\sqrt{12-x}=x$$

1. ОДЗ:

• Подкоренное выражение должно быть ≥ 0:

$$\begin{array}{cccc}& 12-x\ge 0\Rightarrow x\le 12& & \text{(1)}\end{array}$$

• Правая часть $x\ge 0$, так как корень не может быть отрицательным:

$$\begin{array}{cccc}& x\ge 0& & \text{(2)}\end{array}$$

Совместим:

$$\boxed{{\displaystyle 0\le x\le 12}}$$

2. Возведение обеих частей в квадрат:

$$12-x=x^2\Rightarrow x^2+x-12=0$$

3. Решение квадратного уравнения:

$$D=1^2+4\cdot 12=1+48=49$$$$x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{49}}{2}=\frac{-1\pm 7}{2}\Rightarrow x_1=\frac{-8}{2}=-4,x_2=\frac{6}{2}=3$$

4. Проверка на ОДЗ:

• $x=-4$ — не входит
• $x=3$ — входит

5. Проверка подстановкой:

• $x=3\Rightarrow \sqrt{12-3}=3\Rightarrow \sqrt{9}=3\Rightarrow 3=3$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle x=3}}$$