ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 42.10 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = \sin \left( 2x — \frac{\pi}{3} \right)$ и $x_0 = \frac{\pi}{6}$;

Пусть $u = 2x — \frac{\pi}{3}$, тогда $y = \sin u$;

$y’ = (\sin u)’ \cdot \left( 2x — \frac{\pi}{3} \right)’ = \cos u \cdot 2 = 2 \cos \left( 2x — \frac{\pi}{3} \right)$;

$y'(x_0) = 2 \cos \left( \frac{2\pi}{6} — \frac{\pi}{3} \right) = 2 \cos \left( \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{3} \right) = 2 \cos 0 = 2 \cdot 1 = 2$;

б) $y = \operatorname{ctg} \left( \frac{\pi}{3} — x \right)$ и $x_0 = \frac{\pi}{6}$;

Пусть $u = \frac{\pi}{3} — x$, тогда $y = \operatorname{ctg} u$;

$y’ = (\operatorname{ctg} u)’ \cdot \left( \frac{\pi}{3} — x \right)’ = -\frac{1}{\sin^2 u} \cdot (-1) = \frac{1}{\sin^2 \left( \frac{\pi}{3} — x \right)}$;

$y'(x_0) = \frac{1}{\sin^2 \left( \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{6} \right)} = \frac{1}{\sin^2 \left( \frac{2\pi — \pi}{6} \right)} = \frac{1}{\sin^2 \frac{\pi}{6}} = 1 : \left( -\frac{1}{2} \right)^2 = 4$;

в) $y = \cos \left( \frac{\pi}{3} — 4x \right)$ и $x_0 = \frac{\pi}{8}$;

Пусть $u = \frac{\pi}{3} — 4x$, тогда $y = \cos u$;

$y’ = (\cos u)’ \cdot \left( \frac{\pi}{3} — 4x \right)’ = -\sin u \cdot (-4) = 4 \sin \left( \frac{\pi}{3} — 4x \right)$;

$y'(x_0) = 4 \sin \left( \frac{\pi}{3} — \frac{4\pi}{8} \right) = 4 \sin \left( \frac{2\pi — 3\pi}{6} \right) = 4 \sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) = 4 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) = -2$;

г) $y = \operatorname{tg} \left( 3x — \frac{\pi}{4} \right)$ и $x_0 = \frac{\pi}{12}$;

Пусть $u = 3x — \frac{\pi}{4}$, тогда $y = \operatorname{tg} u$;

$y’ = (\operatorname{tg} u)’ \cdot \left( 3x — \frac{\pi}{4} \right)’ = \frac{1}{\cos^2 u} \cdot 3 = \frac{3}{\cos^2 \left( 3x — \frac{\pi}{4} \right)}$;

$y'(x_0) = \frac{3}{\cos^2 \left( \frac{3\pi}{12} — \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{3}{\cos^2 \left( \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{3}{\cos^2 0} = \frac{3}{1^2} = 3$

а) $y = \sin \left( 2x — \frac{\pi}{3} \right)$, $x_0 = \frac{\pi}{6}$

Шаг 1. Обозначим внутреннюю функцию:

$$u = 2x — \frac{\pi}{3}$$

Шаг 2. Тогда внешняя функция:

$$y = \sin(u)$$

Шаг 3. Применим цепное правило:

$$y’ = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$

Шаг 4. Найдём каждую производную:

• $\frac{dy}{du} = \cos u$
• $\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(2x — \frac{\pi}{3}) = 2$

Шаг 5. Перемножим:

$$y’ = \cos(u) \cdot 2 = 2 \cos(2x — \frac{\pi}{3})$$

Шаг 6. Подставим $x = \frac{\pi}{6}$:

$$u = 2 \cdot \frac{\pi}{6} — \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{6} — \frac{2\pi}{6} = 0$$ $$y'(\frac{\pi}{6}) = 2 \cos(0) = 2 \cdot 1 = 2$$

Ответ:

$$y’ \left( \frac{\pi}{6} \right) = 2$$

б) $y = \operatorname{ctg} \left( \frac{\pi}{3} — x \right)$, $x_0 = \frac{\pi}{6}$

Шаг 1. Обозначим:

$$u = \frac{\pi}{3} — x$$

Шаг 2. Тогда:

$$y = \operatorname{ctg}(u)$$

Шаг 3. Производная котангенса:

$$\frac{d}{du}(\operatorname{ctg} u) = -\frac{1}{\sin^2 u}$$

Шаг 4. Применим цепное правило:

• $\frac{du}{dx} = -1$

$$y’ = -\frac{1}{\sin^2 u} \cdot (-1) = \frac{1}{\sin^2 u} = \frac{1}{\sin^2 \left( \frac{\pi}{3} — x \right)}$$

Шаг 5. Подставим $x = \frac{\pi}{6}$:

$$u = \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi — \pi}{6} = \frac{\pi}{6}$$ $$\sin \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2}, \quad \sin^2 \left( \frac{\pi}{6} \right) = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$$ $$y’ \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$$

Ответ:

$$y’ \left( \frac{\pi}{6} \right) = 4$$

в) $y = \cos \left( \frac{\pi}{3} — 4x \right)$, $x_0 = \frac{\pi}{8}$

Шаг 1. Обозначим внутреннюю функцию:

$$u = \frac{\pi}{3} — 4x$$

Шаг 2. Тогда:

$$y = \cos(u)$$

Шаг 3. Производная косинуса:

$$\frac{d}{du}(\cos u) = -\sin u$$

Шаг 4. По цепному правилу:

• $\frac{du}{dx} = -4$

$$y’ = -\sin u \cdot (-4) = 4 \sin u = 4 \sin \left( \frac{\pi}{3} — 4x \right)$$

Шаг 5. Подставим $x = \frac{\pi}{8}$:

$$u = \frac{\pi}{3} — 4 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{3} — \frac{4\pi}{8} = \frac{8\pi — 12\pi}{24} = -\frac{4\pi}{24} = -\frac{\pi}{6}$$ $$\sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) = -\sin \left( \frac{\pi}{6} \right) = -\frac{1}{2}$$ $$y’ \left( \frac{\pi}{8} \right) = 4 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) = -2$$

Ответ:

$$y’ \left( \frac{\pi}{8} \right) = -2$$

г) $y = \operatorname{tg} \left( 3x — \frac{\pi}{4} \right)$, $x_0 = \frac{\pi}{12}$

Шаг 1. Обозначим внутреннюю функцию:

$$u = 3x — \frac{\pi}{4}$$

Шаг 2. Тогда:

$$y = \operatorname{tg}(u)$$

Шаг 3. Производная тангенса:

$$\frac{d}{du}(\operatorname{tg} u) = \frac{1}{\cos^2 u}$$

Шаг 4. По цепному правилу:

• $\frac{du}{dx} = 3$

$$y’ = \frac{1}{\cos^2 u} \cdot 3 = \frac{3}{\cos^2 u} = \frac{3}{\cos^2 \left( 3x — \frac{\pi}{4} \right)}$$

Шаг 5. Подставим $x = \frac{\pi}{12}$:

$$u = 3 \cdot \frac{\pi}{12} — \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{12} — \frac{3\pi}{12} = 0$$ $$\cos(0) = 1, \quad \cos^2(0) = 1$$ $$y’ \left( \frac{\pi}{12} \right) = \frac{3}{1} = 3$$

Ответ:

$$y’ \left( \frac{\pi}{12} \right) = 3$$