ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 42.11 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $y=(x^2-3x+1{)}^7$ и $x_0=1$;

Пусть $u=x^2-3x+1$, тогда $y=u^7$;

$y^{\mathrm{\prime }}=(u^7{)}^{\mathrm{\prime }}\cdot (x^2-3x+1{)}^{\mathrm{\prime }}=7u^6\cdot (2x-3)=7(x^2-3x+1{)}^6(2x-3)$;

$y^{\mathrm{\prime }}(x_0)=7(1^2-3\cdot 1+1{)}^6(2\cdot 1-3)=7(-1{)}^6(-1)=7\cdot 1\cdot (-1)=-7$.

б) $y=\sqrt{\frac{x+1}{x+4}}$ и $x_0=0$;

Пусть $u=\frac{x+1}{x+4}$, тогда $y=\sqrt{u}$;

$u_x^{\mathrm{\prime }}=\frac{(x+1{)}^{\mathrm{\prime }}(x+4)-(x+1)(x+4{)}^{\mathrm{\prime }}}{(x+4{)}^2}=\frac{(x+4)-(x+1)}{(x+4{)}^2}=\frac{3}{(x+4{)}^2}$;

$y^{\mathrm{\prime }}=(\sqrt{u}{)}^{\mathrm{\prime }}\cdot u_x^{\mathrm{\prime }}$;

$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot \frac{3}{(x+4{)}^2}=\frac{3}{2\cdot \sqrt{\frac{x+1}{x+4}}\cdot (x+4{)}^2}=\frac{3}{2\cdot (x+4)\sqrt{x+1}}$;

$y^{\mathrm{\prime }}(x_0)=\frac{3}{2\cdot (0+4)\sqrt{0+4}\cdot \sqrt{0+1}}=\frac{3}{2\cdot 4\cdot \sqrt{4}\cdot \sqrt{1}}=\frac{3}{2\cdot 4\cdot 2\cdot 1}=\frac{3}{16}$.

в) $y=\sqrt{(x-1)(x-4)}$ и $x_0=0$;

$y=\sqrt{x^2-4x-x+4}=\sqrt{x^2-5x+4}$;

Пусть $u=x^2-5x+4$, тогда $y=\sqrt{u}$;

$y^{\mathrm{\prime }}=(\sqrt{u}{)}^{\mathrm{\prime }}\cdot (x^2-5x+4{)}^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot (2x-5)=\frac{2x-5}{2\sqrt{x^2-5x+4}}$;

$y^{\mathrm{\prime }}(x_0)=\frac{2\cdot 0-5}{2\sqrt{0^2-5\cdot 0+4}}=\frac{-5}{2\sqrt{4}}=\frac{-5}{2\cdot 2}=-\frac{5}{4}=-1\frac{1}{4}$.

г) $y={\left(\frac{x^2+1}{x^2+3}\right)}^3$ и $x_0=1$;

Пусть $u=\frac{x^2+1}{x^2+3}$, тогда $y=u^3$;

$u_x^{\mathrm{\prime }}=\frac{(x^2+1{)}^{\mathrm{\prime }}(x^2+3)-(x^2+1)(x^2+3{)}^{\mathrm{\prime }}}{(x^2+3{)}^2}=\frac{2(x^2+3)-2(x^2+1)}{(x^2+3{)}^2}=\frac{2(x^2+3-x^2-1)}{(x^2+3{)}^2}=\frac{4}{(x^2+3{)}^2}$;

$y^{\mathrm{\prime }}=(u^3{)}^{\mathrm{\prime }}\cdot u_x^{\mathrm{\prime }}=3u^2\cdot \frac{4}{(x^2+3{)}^2}=\frac{12\cdot {\left(\frac{x^2+1}{x^2+3}\right)}^2}{(x^2+3{)}^2}=\frac{12(x^2+1{)}^2}{(x^2+3{)}^4}$;

$y^{\mathrm{\prime }}(x_0)=\frac{12(1^2+1{)}^2}{(1^2+3{)}^4}=\frac{12\cdot 2^2}{4^4}=\frac{12\cdot 4}{256}=\frac{48}{256}=\frac{3}{16}$.

а) $y=(x^2-3x+1{)}^7$, $x_0=1$

Шаг 1. Обозначим внутреннюю функцию:

$$u=x^2-3x+1$$

Шаг 2. Тогда исходная функция:

$$y=u^7$$

Шаг 3. Используем цепное правило:

$$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$$

Шаг 4. Найдём каждую производную:

• $\frac{dy}{du}=7u^6$
• $\frac{du}{dx}=(x^2-3x+1{)}^{\mathrm{\prime }}=2x-3$

Шаг 5. Объединяем:

$$y^{\mathrm{\prime }}=7(x^2-3x+1{)}^6(2x-3)$$

Шаг 6. Подставим $x_0=1$:

$$u(1)=1^2-3\cdot 1+1=1-3+1=-1$$$$2x-3=2\cdot 1-3=-1$$$$y^{\mathrm{\prime }}(1)=7(-1{)}^6\cdot (-1)=7\cdot 1\cdot (-1)=-7$$

Ответ:

$$y^{\mathrm{\prime }}(1)=-7$$

б) $y=\sqrt{{\displaystyle \frac{x+1}{x+4}}}$, $x_0=0$

Шаг 1. Введём замену:

$$u=\frac{x+1}{x+4},y=\sqrt{u}=u^{1\mathrm{/}2}$$

Шаг 2. Используем правило производной дроби:

$$u=\frac{f(x)}{g(x)},u^{\mathrm{\prime }}=\frac{f^{\mathrm{\prime }}(x)g(x)-f(x)g^{\mathrm{\prime }}(x)}{[g(x){]}^2}$$

где $f(x)=x+1$, $g(x)=x+4$

• $f^{\mathrm{\prime }}(x)=1$
• $g^{\mathrm{\prime }}(x)=1$

$$u^{\mathrm{\prime }}=\frac{(1)(x+4)-(x+1)(1)}{(x+4{)}^2}=\frac{x+4-x-1}{(x+4{)}^2}=\frac{3}{(x+4{)}^2}$$

Шаг 3. Производная $y=u^{1\mathrm{/}2}$:

$$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot \frac{3}{(x+4{)}^2}$$

Шаг 4. Подставим $u=\frac{x+1}{x+4}$:

$$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{3}{2(x+4{)}^2\cdot \sqrt{\frac{x+1}{x+4}}}$$

Преобразуем:

$$\sqrt{\frac{x+1}{x+4}}=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+4}},\Rightarrow y^{\mathrm{\prime }}=\frac{3}{2(x+4{)}^2\cdot \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+4}}}=$$

$$=\frac{3\sqrt{x+4}}{2(x+4{)}^2\cdot \sqrt{x+1}}=\frac{3}{2(x+4)\sqrt{x+1}}$$

Шаг 5. Подставим $x=0$:

• $x+4=4$
• $\sqrt{x+1}=\sqrt{1}=1$

$$y^{\mathrm{\prime }}(0)=\frac{3}{2\cdot 4\cdot 2}=\frac{3}{16}$$

Ответ:

$$y^{\mathrm{\prime }}(0)=\frac{3}{16}$$

в) $y=\sqrt{(x-1)(x-4)}$, $x_0=0$

Шаг 1. Раскроем произведение под корнем:

$$(x-1)(x-4)=x^2-4x-x+4=x^2-5x+4$$$$y=\sqrt{x^2-5x+4}=\sqrt{u},u=x^2-5x+4$$

Шаг 2. Найдём производную по цепному правилу:

$$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u^{\mathrm{\prime }}$$

Шаг 3. Вычислим $u^{\mathrm{\prime }}$:

$$u^{\mathrm{\prime }}=(x^2-5x+4{)}^{\mathrm{\prime }}=2x-5$$

Шаг 4. Подставим:

$$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{2x-5}{2\sqrt{x^2-5x+4}}$$

Шаг 5. Подставим $x=0$:

$$u=0^2-5\cdot 0+4=4,\sqrt{u}=2$$$$2x-5=0-5=-5$$$$y^{\mathrm{\prime }}(0)=\frac{-5}{2\cdot 2}=-\frac{5}{4}=-1\frac{1}{4}$$

Ответ:

$$y^{\mathrm{\prime }}(0)=-\frac{5}{4}$$

г) $y={\left(\frac{x^2+1}{x^2+3}\right)}^3$, $x_0=1$

Шаг 1. Пусть $u=\frac{x^2+1}{x^2+3}$, тогда $y=u^3$

Шаг 2. По цепному правилу:

$$y^{\mathrm{\prime }}=3u^2\cdot u^{\mathrm{\prime }}$$

Шаг 3. Найдём производную дроби:

• $f(x)=x^2+1$, $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x$
• $g(x)=x^2+3$, $g^{\mathrm{\prime }}(x)=2x$

$$u^{\mathrm{\prime }}=\frac{f^{\mathrm{\prime }}g-f{g}^{\mathrm{\prime }}}{g^2}=\frac{2x(x^2+3)-2x(x^2+1)}{(x^2+3{)}^2}$$

Раскроем скобки:

• $2x(x^2+3)=2x^3+6x$
• $2x(x^2+1)=2x^3+2x$

$$u^{\mathrm{\prime }}=\frac{(2x^3+6x)-(2x^3+2x)}{(x^2+3{)}^2}=\frac{4x}{(x^2+3{)}^2}$$

Шаг 4. Тогда:

$$y^{\mathrm{\prime }}=3u^2\cdot \frac{4x}{(x^2+3{)}^2}=\frac{12x\cdot u^2}{(x^2+3{)}^2}$$

А поскольку $u=\frac{x^2+1}{x^2+3}$, то:

$$u^2={\left(\frac{x^2+1}{x^2+3}\right)}^2$$$$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{12x(x^2+1{)}^2}{(x^2+3{)}^4}$$

Шаг 5. Подставим $x=1$:

• $x^2+1=1+1=2\Rightarrow (x^2+1{)}^2=4$
• $x^2+3=4\Rightarrow (x^2+3{)}^4=256$
• $x=1$

$$y^{\mathrm{\prime }}(1)=\frac{12\cdot 1\cdot 4}{256}=\frac{48}{256}=\frac{3}{16}$$

Ответ:

$$y^{\mathrm{\prime }}(1)=\frac{3}{16}$$