ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 42.12 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = \operatorname{tg}^3 x$ и $x_0 = \frac{\pi}{4}$;

б) $y = \sin \sqrt{x}$ и $x_0 = \frac{\pi^2}{36}$;

в) $y = \cos x^3$ и $x_0 = 0$;

г) $y = \operatorname{ctg}^2 x — 1$ и $x_0 = \frac{\pi}{4}$

а) $y = \operatorname{tg}^3 x$ и $x_0 = \frac{\pi}{4}$;

Пусть $u = \operatorname{tg} x$, тогда $y = u^3$;

$y’ = (u^3)’ \cdot (\operatorname{tg} x)’ = 3u^2 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = 3 \cdot \frac{\operatorname{tg}^2 x}{\cos^2 x} = 3 \left( \frac{\operatorname{tg} x}{\cos x} \right)^2$;

$y'(x_0) = 3 \left( \frac{\operatorname{tg} \frac{\pi}{4}}{\cos \frac{\pi}{4}} \right)^2 = 3 \left( 1 : \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = 3 \left( \frac{2}{\sqrt{2}} \right)^2 = 3 \cdot \frac{4}{2} = 3 \cdot 2 = 6$;

б) $y = \sin \sqrt{x}$ и $x_0 = \frac{\pi^2}{36}$;

Пусть $u = \sqrt{x}$, тогда $y = \sin u$;

$y’ = (\sin u)’ \cdot (\sqrt{x})’ = \cos u \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{\cos \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$;

$y'(x_0) = \frac{\cos \sqrt{\frac{\pi^2}{36}}}{2\sqrt{\frac{\pi^2}{36}}} = \frac{\cos \frac{\pi}{6}}{2 \cdot \frac{\pi}{6}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\pi}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{\pi} = \frac{3\sqrt{3}}{2\pi}$;

в) $y = \cos x^3$ и $x_0 = 0$;

Пусть $u = x^3$, тогда $y = \cos u$;

$y’ = (\cos u)’ \cdot (x^3)’ = -\sin u \cdot 3x^2 = -3x^2 \cdot \sin x^3$;

$y'(x_0) = -3 \cdot 0^2 \cdot \sin 0^3 = 0$;

г) $y = \operatorname{ctg}^2 x — 1$ и $x_0 = \frac{\pi}{4}$;

Пусть $u = \operatorname{ctg} x$ и $z = u^2$;

$z’ = (u^2)’ \cdot (\operatorname{ctg} x)’ = 2u \cdot \left( -\frac{1}{\sin^2 x} \right) = -2 \cdot \frac{\operatorname{ctg} x}{\sin^2 x}$;

$y = z — 1$, значит $y’ = z’ — (1)’ = z’ — 0 = z’$;

$y'(x_0) = -2 \cdot \frac{\operatorname{ctg} \frac{\pi}{4}}{\sin^2 \frac{\pi}{4}} = -2 \cdot \left( 1 : \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 \right) = -2 \cdot 2 = -4$

а) $y = \operatorname{tg}^3 x$, $x_0 = \dfrac{\pi}{4}$

Шаг 1. Представим функцию как степень:

$$y = (\operatorname{tg} x)^3$$

Шаг 2. Обозначим:

$$u = \operatorname{tg} x, \quad y = u^3$$

Шаг 3. По цепному правилу:

$$y’ = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$

Шаг 4. Найдём производные:

• $\frac{dy}{du} = 3u^2$
• $\frac{du}{dx} = (\operatorname{tg} x)’ = \frac{1}{\cos^2 x}$

Шаг 5. Объединяем:

$$y’ = 3u^2 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = 3 \cdot \frac{\operatorname{tg}^2 x}{\cos^2 x}$$

Или:

$$y’ = 3 \left( \frac{\operatorname{tg} x}{\cos x} \right)^2$$

Шаг 6. Вычисляем при $x = \frac{\pi}{4}$:

• $\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = 1$
• $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$$y’ \left( \frac{\pi}{4} \right) = 3 \left( \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \right)^2 = 3 \cdot \left( \frac{2}{\sqrt{2}} \right)^2 = 3 \cdot \frac{4}{2} = 3 \cdot 2 = 6$$

Ответ:

$$y’\left( \frac{\pi}{4} \right) = 6$$

б) $y = \sin \sqrt{x}$, $x_0 = \dfrac{\pi^2}{36}$

Шаг 1. Обозначим:

$$u = \sqrt{x} = x^{1/2}, \quad y = \sin u$$

Шаг 2. По цепному правилу:

$$y’ = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$

Шаг 3. Найдём производные:

• $\frac{dy}{du} = \cos u$
• $\frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Шаг 4. Объединяем:

$$y’ = \cos \sqrt{x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{\cos \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$$

Шаг 5. Подставим $x_0 = \frac{\pi^2}{36}$:

• $\sqrt{x_0} = \sqrt{\frac{\pi^2}{36}} = \frac{\pi}{6}$
• $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• $2\sqrt{x} = 2 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$

$$y’\left( \frac{\pi^2}{36} \right) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\pi}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{\pi} = \frac{3\sqrt{3}}{2\pi}$$

Ответ:

$$y’\left( \frac{\pi^2}{36} \right) = \frac{3\sqrt{3}}{2\pi}$$

в) $y = \cos x^3$, $x_0 = 0$

Шаг 1. Обозначим:

$$u = x^3, \quad y = \cos u$$

Шаг 2. По цепному правилу:

$$y’ = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$

Шаг 3. Найдём производные:

• $\frac{dy}{du} = -\sin u$
• $\frac{du}{dx} = 3x^2$

Шаг 4. Объединяем:

$$y’ = -\sin x^3 \cdot 3x^2 = -3x^2 \sin x^3$$

Шаг 5. Подставим $x = 0$:

• $x^2 = 0$, $\sin x^3 = \sin 0 = 0$

$$y'(0) = -3 \cdot 0 \cdot 0 = 0$$

Ответ:

$$y'(0) = 0$$

г) $y = \operatorname{ctg}^2 x — 1$, $x_0 = \dfrac{\pi}{4}$

Шаг 1. Обозначим:

$$u = \operatorname{ctg} x, \quad z = u^2, \quad y = z — 1$$

Шаг 2. Производная:

$$z’ = \frac{dz}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 2u \cdot (-\frac{1}{\sin^2 x}) = -2 \cdot \frac{\operatorname{ctg} x}{\sin^2 x}$$

Шаг 3. Поскольку $y = z — 1$, то:

$$y’ = z’ — 0 = z’$$

Шаг 4. Вычисляем при $x = \frac{\pi}{4}$:

• $\operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} = 1$
• $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \sin^2 \frac{\pi}{4} = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{1}{2}$

$$y’\left( \frac{\pi}{4} \right) = -2 \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} = -2 \cdot 2 = -4$$

Ответ:

$$y’\left( \frac{\pi}{4} \right) = -4$$