ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 42.19 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите тангенс угла между касательной к графику функции у = h(x) в точке с абсциссой $x_0$ и осью х:

а) $h(x) = \frac{18}{4x + 1}$ и $x_0 = 0{,}5$;

б) $h(x) = \cos^3 x$ и $x_0 = \frac{\pi}{6}$;

в) $h(x) = \sqrt{6 — 2x}$ и $x_0 = 1$;

г) $h(x) = \sqrt{\tan x}$ и $x_0 = \frac{\pi}{4}$

а) $h(x) = \frac{18}{4x + 1}$ и $x_0 = 0{,}5$;

$$h'(x) = \frac{(18)'(4x + 1) — 18(4x + 1)’}{(4x + 1)^2} = \frac{0 — 18 \cdot 4}{(4x + 1)^2} = -\frac{72}{(4x + 1)^2};$$ $$\tan a = h'(x_0) = -\frac{72}{(4 \cdot 0{,}5 + 1)^2} = -\frac{72}{(2 + 1)^2} = -\frac{72}{3^2} = -\frac{72}{9} = -8;$$

Ответ: $-8$.

б) $h(x) = \cos^3 x$ и $x_0 = \frac{\pi}{6}$;

Пусть $u = \cos x$, тогда $h(x) = u^3$;

$$h'(x) = (u^3)’ \cdot (\cos x)’ = 3u^2 \cdot (-\sin x) = -3 \sin x \cdot \cos^2 x;$$ $$\tan a = h'(x_0) = -3 \cdot \sin \frac{\pi}{6} \cdot \cos^2 \frac{\pi}{6} = -3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = -\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{4} = -\frac{9}{8} = -1 \frac{1}{8};$$

Ответ: $-1 \frac{1}{8}$.

в) $h(x) = \sqrt{6 — 2x}$ и $x_0 = 1$;

Пусть $u = 6 — 2x$, тогда $h(x) = \sqrt{u}$;

$$h'(x) = (\sqrt{u})’ \cdot (6 — 2x)’ = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot (-2) = -\frac{1}{\sqrt{6 — 2x}};$$ $$\tan a = h'(x_0) = -\frac{1}{\sqrt{6 — 2 \cdot 1}} = -\frac{1}{\sqrt{4}} = -\frac{1}{2};$$

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

г) $h(x) = \sqrt{\tan x}$ и $x_0 = \frac{\pi}{4}$;

Пусть $u = \tan x$, тогда $h(x) = \sqrt{u}$;

$$h'(x) = (\sqrt{u})’ \cdot (\tan x)’ = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{2\sqrt{\tan x} \cdot \cos^2 x};$$ $$\tan a = h'(x_0) = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{\tan \frac{\pi}{4}} \cdot \cos^2 \frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{1} \cdot \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2} = \frac{1}{2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2}} = 1 : 1 = 1;$$

Ответ: $1$.

а)

Дана функция:

$$h(x) = \frac{18}{4x + 1}, \quad x_0 = 0{,}5$$

Шаг 1: Найдём производную функции $h(x)$

Это дробь, числитель и знаменатель зависят от $x$, используем правило производной дроби:

$$\left( \frac{u(x)}{v(x)} \right)’ = \frac{u'(x) \cdot v(x) — u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}$$

Здесь:

• $u(x) = 18 \Rightarrow u'(x) = 0$
• $v(x) = 4x + 1 \Rightarrow v'(x) = 4$

Подставляем:

$$h'(x) = \frac{0 \cdot (4x + 1) — 18 \cdot 4}{(4x + 1)^2} = \frac{-72}{(4x + 1)^2}$$

Шаг 2: Подставим $x_0 = 0{,}5$ в производную

$$h'(0{,}5) = -\frac{72}{(4 \cdot 0{,}5 + 1)^2} = -\frac{72}{(2 + 1)^2} = -\frac{72}{9} = -8$$

Ответ: $-8$

б)

Функция:

$$h(x) = \cos^3 x, \quad x_0 = \frac{\pi}{6}$$

Шаг 1: Представим функцию через замену переменной

Пусть:

$$u = \cos x \Rightarrow h(x) = u^3$$

Шаг 2: Используем цепное правило производной

$$\frac{d}{dx} (u^3) = 3u^2 \cdot u’$$

Так как $u = \cos x \Rightarrow u’ = -\sin x$, получаем:

$$h'(x) = 3 \cos^2 x \cdot (-\sin x) = -3 \sin x \cdot \cos^2 x$$

Шаг 3: Подставим $x_0 = \frac{\pi}{6}$

Значения тригонометрических функций:

• $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$
• $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Тогда:

$$h’\left( \frac{\pi}{6} \right) = -3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = -3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = -\frac{9}{8}$$

Переведём в смешанную дробь:

$$-\frac{9}{8} = -1 \frac{1}{8}$$

Ответ: $-1 \frac{1}{8}$

в)

Функция:

$$h(x) = \sqrt{6 — 2x}, \quad x_0 = 1$$

Шаг 1: Вводим замену переменной

Пусть $u = 6 — 2x \Rightarrow h(x) = \sqrt{u} = u^{1/2}$

Шаг 2: Применим цепное правило

$$\frac{d}{dx} (\sqrt{u}) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{dx}$$

Вычислим:

• $u = 6 — 2x \Rightarrow \frac{du}{dx} = -2$

Подставим:

$$h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{6 — 2x}} \cdot (-2) = -\frac{1}{\sqrt{6 — 2x}}$$

Шаг 3: Подставим $x_0 = 1$

$$h'(1) = -\frac{1}{\sqrt{6 — 2 \cdot 1}} = -\frac{1}{\sqrt{4}} = -\frac{1}{2}$$

Ответ: $-\frac{1}{2}$

г)

Функция:

$$h(x) = \sqrt{\tan x}, \quad x_0 = \frac{\pi}{4}$$

Шаг 1: Вводим замену переменной

Пусть $u = \tan x \Rightarrow h(x) = \sqrt{u} = u^{1/2}$

Шаг 2: Применим цепное правило

$$\frac{d}{dx} (\sqrt{u}) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{dx}$$

Так как $u = \tan x \Rightarrow \frac{du}{dx} = \frac{1}{\cos^2 x}$

Подставим:

$$h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\tan x}} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{2 \sqrt{\tan x} \cdot \cos^2 x}$$

Шаг 3: Подставим $x_0 = \frac{\pi}{4}$

Известные значения:

• $\tan \frac{\pi}{4} = 1$
• $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \cos^2 \frac{\pi}{4} = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = \frac{1}{2}$

Подставим:

$$h’\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{1} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{1}{2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{1}{1} = 1$$

Ответ: $1$