ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 42.23 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Дано: $f(x) = a \sin 2x + b \cos x$, $f’\left( \frac{\pi}{6} \right) = 2$, $f’\left( \frac{9\pi}{2} \right) = -4$. Чему равны $a$ и $b$?

б) Дано: $f(x) = a \cos 2x + b \sin 4x$, $f’\left( \frac{7\pi}{12} \right) = 4$, $f’\left( \frac{3\pi}{4} \right) = 2$. Чему равны $a$ и $b$?

a) $f(x) = a \sin 2x + b \cos x$

Найдем производную функции:

$$f'(x) = a (\sin 2x)’ + b (\cos x)’ = 2a \cdot \cos 2x — b \cdot \sin x$$

Вычислим значения производной в точках $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{9\pi}{2}$:

$$f’\left( \frac{\pi}{6} \right) = 2a \cdot \cos \frac{\pi}{3} — b \cdot \sin \frac{\pi}{6} = 2a \cdot \frac{1}{2} — b \cdot \frac{1}{2} = a — 0.5b$$ $$f’\left( \frac{9\pi}{2} \right) = 2a \cdot \cos 9\pi — b \cdot \sin \frac{9\pi}{2} = 2a \cdot \cos \pi — b \cdot \sin \frac{\pi}{2} = -2a — b$$

По условию задачи:

$$f’\left( \frac{\pi}{6} \right) = 2 \quad \text{и} \quad f’\left( \frac{9\pi}{2} \right) = -4$$

Следовательно, получаем систему уравнений:

$$\begin{cases} a — 0.5b = 2 \\ -2a — b = -4 \end{cases}$$

Решим систему уравнений:

$$\begin{cases} a — 0.5b = 2 \\ -2a — b = -4 \end{cases}$$

Из первого уравнения выразим $a$:

$$a = 2 + 0.5b$$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$$-2(2 + 0.5b) — b = -4$$ $$-4 — b — b = -4$$ $$-4 — 2b = -4$$ $$-2b = 0 \implies b = 0$$

Подставим $b = 0$ в первое уравнение:

$$a = 2 + 0.5 \cdot 0 = 2$$

Ответ:

$$a = 2, \quad b = 0$$

б) $f(x) = a \cos 2x + b \sin 4x$

Найдем производную функции:

$$f'(x) = a (\cos 2x)’ + b (\sin 4x)’ = -2a \cdot \sin 2x + 4b \cdot \cos 4x$$

Вычислим значения производной в точках $x = \frac{7\pi}{12}$ и $x = \frac{3\pi}{4}$:

$$f’\left( \frac{7\pi}{12} \right) = -2a \cdot \sin \frac{7\pi}{6} + 4b \cdot \cos \frac{7\pi}{3} = -2a \cdot \sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) + b \cdot \cos \frac{\pi}{3}$$ $$= -2a \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) + 4b \cdot \frac{1}{2} = a + 2b$$ $$f’\left( \frac{3\pi}{4} \right) = -2a \cdot \sin \frac{3\pi}{2} + 4b \cdot \cos 3\pi = -2a \cdot (-1) + 4b \cdot (-1) = 2a — 4b$$

По условию задачи:

$$f’\left( \frac{7\pi}{12} \right) = 4 \quad \text{и} \quad f’\left( \frac{3\pi}{4} \right) = 2$$

Следовательно, получаем систему уравнений:

$$\begin{cases} a + 2b = 4 \\ 2a — 4b = 2 \end{cases}$$

Решим систему уравнений:

$$\begin{cases} a + 2b = 4 \\ 2a — 4b = 2 \end{cases}$$

Из первого уравнения выразим $a$:

$$a = 4 — 2b$$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$$2(4 — 2b) — 4b = 2$$ $$8 — 4b — 4b = 2$$ $$8 — 8b = 2$$ $$-8b = 2 — 8$$ $$-8b = -6 \implies b = \frac{6}{8} = 0.75$$

Подставим $b = 0.75$ в первое уравнение:

$$a = 4 — 2 \cdot 0.75 = 4 — 1.5 = 2.5$$

Ответ:

$$a = 2.5, \quad b = 0.75$$

а) $f(x) = a \sin 2x + b \cos x$

Шаг 1: Найдём производную функции

Используем производные:

• $(\sin kx)’ = k \cos kx$
• $(\cos x)’ = -\sin x$

Тогда:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=a\cdot (\sin 2x{)}^{\mathrm{\prime }}+b\cdot (\cos x{)}^{\mathrm{\prime }}=a\cdot 2\cos 2x+b\cdot (-\sin x)=$$

$$f'(x) = a \cdot (\sin 2x)’ + b \cdot (\cos x)’ = a \cdot 2 \cos 2x + b \cdot (-\sin x) = 2a \cos 2x — b \sin x$$

Шаг 2: Найдём значение производной в точках

Точка $x = \frac{\pi}{6}$:

Подставляем в производную:

$$f’\left( \frac{\pi}{6} \right) = 2a \cdot \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right) — b \cdot \sin\left( \frac{\pi}{6} \right) = 2a \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) — b \cdot \sin\left( \frac{\pi}{6} \right)$$

Значения тригонометрических функций:

• $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$
• $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$

Подставляем:

$$f’\left( \frac{\pi}{6} \right) = 2a \cdot \frac{1}{2} — b \cdot \frac{1}{2} = a — \frac{b}{2}$$

Точка $x = \frac{9\pi}{2}$:

Сначала упростим аргументы тригонометрических функций:

• $\cos(2 \cdot \frac{9\pi}{2}) = \cos(9\pi)$, а $\cos(9\pi) = \cos(\pi) = -1$
• $\sin\left(\frac{9\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$ (период $2\pi$, вычитаем $4\pi$)

$$f’\left( \frac{9\pi}{2} \right) = 2a \cdot (-1) — b \cdot 1 = -2a — b$$

Шаг 3: Составим систему уравнений по условию

По условию:

$$\begin{cases} a — \frac{1}{2}b = 2 \\ -2a — b = -4 \end{cases}$$

Шаг 4: Решим систему

Из первого уравнения выразим $a$:

$$a = 2 + \frac{1}{2}b$$

Подставим во второе:

$$-2(2+\frac{1}{2}b)-b=-4\Rightarrow -4-b-b=-4\Rightarrow$$

$$-2(2 + \frac{1}{2}b) — b = -4 \Rightarrow -4 — b — b = -4 \Rightarrow -4 — 2b = -4 \Rightarrow -2b = 0 \Rightarrow b = 0$$

Теперь подставим $b = 0$ в выражение для $a$:

$$a = 2 + \frac{1}{2} \cdot 0 = 2$$

Ответ:

$$\boxed{a = 2, \quad b = 0}$$

б) $f(x) = a \cos 2x + b \sin 4x$

Шаг 1: Найдём производную

Используем производные:

• $(\cos 2x)’ = -2 \sin 2x$
• $(\sin 4x)’ = 4 \cos 4x$

Тогда:

$$f'(x) = -2a \sin 2x + 4b \cos 4x$$

Шаг 2: Значения производной в точках

Точка $x = \frac{7\pi}{12}$

Сначала упростим аргументы:

• $2x = \frac{7\pi}{6} \Rightarrow \sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$
• $4x = \frac{7\pi}{3}$. Упростим: $\frac{7\pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3} \Rightarrow \cos\left(\frac{7\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$

Теперь подставим:

$$f’\left( \frac{7\pi}{12} \right) = -2a \cdot (-\frac{1}{2}) + 4b \cdot \frac{1}{2} = a + 2b$$

Точка $x = \frac{3\pi}{4}$

• $2x = \frac{3\pi}{2} \Rightarrow \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1$
• $4x = 3\pi \Rightarrow \cos(3\pi) = -1$

Подставляем:

$$f’\left( \frac{3\pi}{4} \right) = -2a \cdot (-1) + 4b \cdot (-1) = 2a — 4b$$

Шаг 3: Составим систему уравнений

По условию:

$$\begin{cases} a + 2b = 4 \\ 2a — 4b = 2 \end{cases}$$

Шаг 4: Решим систему

Из первого уравнения:

$$a = 4 — 2b$$

Подставим во второе:

$$2(4-2b)-4b=2\Rightarrow 8-4b-4b=2\Rightarrow 8-8b=2\Rightarrow$$

$$2(4 — 2b) — 4b = 2 \Rightarrow 8 — 4b — 4b = 2 \Rightarrow 8 — 8b = 2 \Rightarrow -8b = -6 \Rightarrow b = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$$

Теперь найдём $a$:

$$a = 4 — 2 \cdot \frac{3}{4} = 4 — \frac{6}{4} = \frac{16}{4} — \frac{6}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{a = \frac{5}{2}, \quad b = \frac{3}{4}}$$