ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 42.7 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите производную функции:

а) $y = \sin^3 x$;

б) $y = \sqrt{\operatorname{ctg} x}$;

в) $y = \operatorname{tg}^5 x$;

г) $y = \operatorname{tg}(x + x^3)$

а) $y = \sin^3 x$;
Пусть $u = \sin x$, тогда $y = u^3$;
$y’ = (u^3)’ \cdot (\sin x)’ = 3u^2 \cdot \cos x = 3 \cdot \sin^2 x \cdot \cos x$;

б) $y = \sqrt{\operatorname{ctg} x}$;
Пусть $u = \operatorname{ctg} x$, тогда $y = \sqrt{u}$;
$y’ = (\sqrt{u})’ \cdot (\operatorname{ctg} x)’ = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \left( -\frac{1}{\sin^2 x} \right) = -\frac{1}{2 \cdot \sqrt{\operatorname{ctg} x} \cdot \sin^2 x}$;

в) $y = \operatorname{tg}^5 x$;
Пусть $u = \operatorname{tg} x$, тогда $y = u^5$;
$y’ = (u^5)’ \cdot (\operatorname{tg} x)’ = 5u^4 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{5 \operatorname{tg}^4 x}{\cos^2 x}$;

г) $y = \operatorname{tg}(x + x^3)$;
Пусть $u = x + x^3$, тогда $y = \operatorname{tg} u$;
$y’ = (\operatorname{tg} u)’ \cdot (x + x^3)’ = \frac{1}{\cos^2 u} \cdot (1 + 3x^2) = \frac{1 + 3x^2}{\cos^2(x + x^3)}$

а)

Найти производную:

$$y = \sin^3 x = (\sin x)^3$$

Шаг 1: Обозначим:

$$u = \sin x, \quad \text{тогда } y = u^3$$

Шаг 2: Производная внешней функции:

$$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du}(u^3) = 3u^2$$

Шаг 3: Производная внутренней функции:

$$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$$

Шаг 4: По правилу цепочки:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 3u^2 \cdot \cos x$$

Шаг 5: Подставим $u = \sin x$:

$$y’ = 3 \sin^2 x \cdot \cos x$$

б)

Найти производную:

$$y = \sqrt{\operatorname{ctg} x} = \left( \operatorname{ctg} x \right)^{1/2}$$

Шаг 1: Обозначим:

$$u = \operatorname{ctg} x, \quad \text{тогда } y = u^{1/2}$$

Шаг 2: Производная внешней функции:

$$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$$

Шаг 3: Производная внутренней функции:

$$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\operatorname{ctg} x) = -\frac{1}{\sin^2 x}$$

Шаг 4: Применяем правило цепочки:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \left( -\frac{1}{\sin^2 x} \right) = -\frac{1}{2\sqrt{u} \cdot \sin^2 x}$$

Шаг 5: Подставим $u = \operatorname{ctg} x$:

$$y’ = -\frac{1}{2 \cdot \sqrt{\operatorname{ctg} x} \cdot \sin^2 x}$$

в)

Найти производную:

$$y = \operatorname{tg}^5 x = (\operatorname{tg} x)^5$$

Шаг 1: Обозначим:

$$u = \operatorname{tg} x, \quad \text{тогда } y = u^5$$

Шаг 2: Производная внешней функции:

$$\frac{dy}{du} = 5u^4$$

Шаг 3: Производная внутренней функции:

$$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\operatorname{tg} x) = \frac{1}{\cos^2 x}$$

Шаг 4: По правилу цепочки:

$$\frac{dy}{dx} = 5u^4 \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$$

Шаг 5: Подставим $u = \operatorname{tg} x$:

$$y’ = \frac{5 \operatorname{tg}^4 x}{\cos^2 x}$$

г)

Найти производную:

$$y = \operatorname{tg}(x + x^3)$$

Шаг 1: Обозначим:

$$u = x + x^3 = x(1 + x^2), \quad \text{тогда } y = \operatorname{tg} u$$

Шаг 2: Производная внешней функции:

$$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du}(\operatorname{tg} u) = \frac{1}{\cos^2 u}$$

Шаг 3: Производная внутренней функции:

$$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x + x^3) = 1 + 3x^2$$

Шаг 4: По правилу цепочки:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos^2 u} \cdot (1 + 3x^2)$$

Шаг 5: Подставим $u = x + x^3$:

$$y’ = \frac{1 + 3x^2}{\cos^2(x + x^3)}$$