ГДЗ Мордкович 10 Класс Профильный Уровень по Алгебре Задачник 📕 — Все Части

Алгебра Профильный Уровень

10 класс задачник профильный уровень Мордкович

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.

Год

2015-2020.

Издательство

Мнемозина.

Описание

Задачник «Алгебра. 10 класс» под авторством А.Г. Мордковича — это один из самых популярных учебных материалов для старшеклассников, изучающих алгебру на профильном уровне. Книга давно зарекомендовала себя как надежный помощник в подготовке к экзаменам и олимпиадам, а также в углубленном изучении математики.

ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 42 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Задача

а) $2 \sqrt{x - 1} - \sqrt{x + 4} = 1;$

б) $\sqrt{x + 3} - \sqrt{2 x - 1} = \sqrt{3 x - 2};$

в) $\sqrt{x + 6} - 2 \sqrt{x - 2} = 1;$

г) $\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 2} = \sqrt{2 x - 5}$

Краткий ответ:

а)
$2 \sqrt{x - 1} - \sqrt{x + 4} = 1;$
$2 \sqrt{x - 1} = 1 + \sqrt{x + 4};$
$4 (x - 1) = 1 + 2 \sqrt{x + 4} + x + 4;$
$4 x - 4 = x + 5 + 2 \sqrt{x + 4};$
$3 x - 9 = 2 \sqrt{x + 4};$
$9 x^{2} - 54 x + 81 = 4 (x + 4);$
$9 x^{2} - 54 x + 81 = 4 x + 16;$
$9 x^{2} - 58 x + 65 = 0;$
$D = 58^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 65 = 3364 - 2340 = 1024;$
тогда:
$x_{1} = \frac{58 - 32}{2 \cdot 9} = \frac{26}{18} = \frac{13}{9};$
$x_{2} = \frac{58 + 32}{2 \cdot 9} = \frac{90}{18} = 5;$

Выражение имеет смысл при:
$x - 1 \geq 0, отсюда x \geq 1;$
$x + 4 \geq 0, отсюда x \geq - 4;$

Уравнение имеет решения при:
$3 x - 9 \geq 0;$
$3 x \geq 9, отсюда x \geq 3;$

Ответ: $x = 5$ .

б)
$\sqrt{x + 3} - \sqrt{2 x - 1} = \sqrt{3 x - 2};$
$x + 3 - 2 \sqrt{(x + 3) (2 x - 1)} + 2 x - 1 = 3 x - 2;$
$- 2 \sqrt{2 x^{2} - x + 6 x - 3} = - 4;$
$\sqrt{2 x^{2} + 5 x - 3} = 2;$
$2 x^{2} + 5 x - 3 = 4;$
$2 x^{2} + 5 x - 7 = 0;$
$D = 5^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 7 = 25 + 56 = 81;$
тогда:
$x_{1} = \frac{- 5 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{- 14}{4} = - 3.5;$
$x_{2} = \frac{- 5 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1;$

Выражение имеет смысл при:
$x + 3 \geq 0, отсюда x \geq - 3;$
$2 x - 1 \geq 0, отсюда x \geq 0.5;$
$3 x - 2 \geq 0, отсюда x \geq \frac{2}{3};$

Ответ: $x = 1$ .

в)
$\sqrt{x + 6} - 2 \sqrt{x - 2} = 1;$
$\sqrt{x + 6} = 2 \sqrt{x - 2} + 1;$
$x + 6 = 4 (x - 2) + 4 \sqrt{x - 2} + 1;$
$x + 6 = 4 x - 8 + 4 \sqrt{x - 2} + 1;$
$x + 6 = 4 x - 7 + 4 \sqrt{x - 2};$
$13 - 3 x = 4 \sqrt{x - 2};$
$169 - 78 x + 9 x^{2} = 16 (x - 2);$
$169 - 78 x + 9 x^{2} = 16 x - 32;$
$9 x^{2} - 94 x + 201 = 0;$
$D = 94^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 201 = 8836 - 7236 = 1600;$
тогда:
$x_{1} = \frac{94 - 40}{2 \cdot 9} = \frac{54}{18} = 3;$
$x_{2} = \frac{94 + 40}{2 \cdot 9} = \frac{134}{18} = \frac{67}{9};$

Выражение имеет смысл при:
$x + 6 \geq 0, отсюда x \geq - 6;$
$x - 2 \geq 0, отсюда x \geq 2;$

Уравнение имеет решения при:
$13 - 3 x \geq 0;$
$3 x \leq 13, отсюда x \leq 4 \frac{1}{3};$

Ответ: $x = 3$ .

г)
$\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 2} = \sqrt{2 x - 5};$
$x + 1 - 2 \sqrt{(x + 1) (x - 2)} + x - 2 = 2 x - 5;$
$- 2 \sqrt{x^{2} - x + x - 2} = - 4;$
$\sqrt{x^{2} - x - 2} = 2;$
$x^{2} - x - 2 = 4;$
$x^{2} - x - 6 = 0;$
$D = 1^{2} + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25;$
тогда:
$x_{1} = \frac{1 - 5}{2} = - 2 и x_{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3;$

Выражение имеет смысл при:
$x + 1 \geq 0, отсюда x \geq - 1;$
$x - 2 \geq 0, отсюда x \geq 2;$
$2 x - 5 \geq 0, отсюда x \geq 2.5;$

Ответ: $x = 3$ .

Подробный ответ:

а)

$2 \sqrt{x - 1} - \sqrt{x + 4} = 1$

1. Область допустимых значений (ОДЗ):

Корни определены, если подкоренные выражения неотрицательны:

$x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$
$x + 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq - 4$

ОДЗ — пересечение:

$x \geq 1$

2. Перенос слагаемого:

$2 \sqrt{x - 1} = 1 + \sqrt{x + 4}$

3. Возводим обе части в квадрат:

$(2 \sqrt{x - 1})^{2} = (1 + \sqrt{x + 4})^{2} \Rightarrow 4 (x - 1) = 1 + 2 \sqrt{x + 4} + (x + 4)$

4. Упрощаем:

Левая:

$4 x - 4$

Правая:

$1 + x + 4 + 2 \sqrt{x + 4} = x + 5 + 2 \sqrt{x + 4}$

Получили:

$4 x - 4 = x + 5 + 2 \sqrt{x + 4}$

5. Переносим всё, кроме корня, влево:

$4 x - x - 4 - 5 = 2 \sqrt{x + 4} \Rightarrow 3 x - 9 = 2 \sqrt{x + 4}$

6. Возводим обе части в квадрат ещё раз:

$(3 x - 9)^{2} = 4 (x + 4) \Rightarrow 9 x^{2} - 54 x + 81 = 4 x + 16$

7. Переносим всё влево:

$9 x^{2} - 54 x + 81 - 4 x - 16 = 0 \Rightarrow 9 x^{2} - 58 x + 65 = 0$

8. Решаем квадратное уравнение:

$D = 58^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 65 = 3364 - 2340 = 1024 \Rightarrow \sqrt{D} = 32$ $x_{1} = \frac{58 - 32}{18} = \frac{26}{18} = \frac{13}{9}, x_{2} = \frac{58 + 32}{18} = \frac{90}{18} = 5$

9. Проверка по ОДЗ:

$x = \frac{13}{9} \approx 1.44$ — подходит
$x = 5$ — подходит

Но также нужно, чтобы $3 x - 9 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3$ (иначе корень недопустим при возв. в квадрат)

$\frac{13}{9} < 3 \Rightarrow$ не подходит

10. Проверка подстановкой:

Проверим $x = 5$ :

$2 \sqrt{5 - 1} - \sqrt{5 + 4} = 2 \sqrt{4} - \sqrt{9} = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1 \Rightarrow верно$

Ответ:

$x = 5$

б)

$\sqrt{x + 3} - \sqrt{2 x - 1} = \sqrt{3 x - 2}$

1. ОДЗ:

$x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq - 3$
$2 x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{1}{2}$
$3 x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{2}{3}$

Пересечение:

$x \geq \frac{2}{3}$

2. Возводим обе части в квадрат:

$(\sqrt{x + 3} - \sqrt{2 x - 1})^{2} = 3 x - 2 \Rightarrow x + 3 + 2 x - 1 - 2 \sqrt{(x + 3) (2 x - 1)} = 3 x - 2$ $x + 3 + 2 x - 1 = 3 x + 2 \Rightarrow 3 x + 2 - 2 \sqrt{(x + 3) (2 x - 1)} = 3 x - 2$

3. Убираем одинаковые слагаемые:

$3 x + 2 - 2 \sqrt{(x + 3) (2 x - 1)} = 3 x - 2 \Rightarrow - 2 \sqrt{(x + 3) (2 x - 1)} =$

$= - 4 \Rightarrow \sqrt{(x + 3) (2 x - 1)} = 2$

4. Возводим в квадрат:

$(x + 3) (2 x - 1) = 4 \Rightarrow 2 x^{2} + 5 x - 3 = 4 \Rightarrow 2 x^{2} + 5 x - 7 = 0$

5. Решаем квадратное уравнение:

$D = 25 + 56 = 81 \Rightarrow \sqrt{D} = 9$ $x_{1} = \frac{- 5 - 9}{4} = - 3.5, x_{2} = \frac{- 5 + 9}{4} = 1$

6. Проверка по ОДЗ:

$x = - 3.5$ — не входит
$x = 1$ — входит

7. Проверка подстановкой:

$\sqrt{1 + 3} - \sqrt{2 \cdot 1 - 1} = \sqrt{3 \cdot 1 - 2} \Rightarrow \sqrt{4} - \sqrt{1} = \sqrt{1} \Rightarrow 2 - 1 = 1 \Rightarrow верно$

Ответ:

$x = 1$

в)

$\sqrt{x + 6} - 2 \sqrt{x - 2} = 1$

1. ОДЗ:

$x + 6 \geq 0 \Rightarrow x \geq - 6$
$x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2$

Пересечение:

$x \geq 2$

2. Изолируем корень:

$\sqrt{x + 6} = 2 \sqrt{x - 2} + 1$

3. Возводим в квадрат:

$x + 6 = 4 (x - 2) + 4 \sqrt{x - 2} + 1 \Rightarrow x + 6 = 4 x - 8 + 4 \sqrt{x - 2} + 1 \Rightarrow x + 6 =$

$= 4 x - 7 + 4 \sqrt{x - 2}$

4. Переносим всё влево:

$x + 6 - 4 x + 7 = 4 \sqrt{x - 2} \Rightarrow 13 - 3 x = 4 \sqrt{x - 2}$

5. Возводим обе части в квадрат:

$(13 - 3 x)^{2} = 16 (x - 2) \Rightarrow 169 - 78 x + 9 x^{2} = 16 x - 32$

6. Переносим всё влево:

$9 x^{2} - 94 x + 201 = 0$

7. Решаем квадратное уравнение:

$D = 94^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 201 = 8836 - 7236 = 1600 \Rightarrow \sqrt{D} = 40$ $x_{1} = \frac{94 - 40}{18} = 3, x_{2} = \frac{94 + 40}{18} = \frac{134}{18} = \frac{67}{9}$

8. Проверка по ОДЗ и ограничению:

ОДЗ: $x \geq 2$
Доп. условие: $13 - 3 x \geq 0 \Rightarrow x \leq \frac{13}{3} = 4 \frac{1}{3}$

$x = 3$ — входит
$\frac{67}{9} \approx 7.44$ — не входит

9. Проверка подстановкой:

$x = 3 \Rightarrow \sqrt{9} - 2 \sqrt{1} = 3 - 2 = 1$

Ответ:

$x = 3$

г)

$\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 2} = \sqrt{2 x - 5}$

1. ОДЗ:

$x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq - 1$
$x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2$
$2 x - 5 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2.5$

Пересечение:

$x \geq 2.5$

2. Возводим обе части в квадрат:

$(x + 1) - 2 \sqrt{(x + 1) (x - 2)} + (x - 2) = 2 x - 5 \Rightarrow 2 x - 1 - 2 \sqrt{(x + 1) (x - 2)} = 2 x - 5$

3. Убираем $2 x$ :

$- 1 - 2 \sqrt{(x + 1) (x - 2)} = - 5 \Rightarrow - 2 \sqrt{(x + 1) (x - 2)} = - 4 \Rightarrow \sqrt{(x + 1) (x - 2)} = 2$

4. Возводим в квадрат:

$(x + 1) (x - 2) = 4 \Rightarrow x^{2} - x - 2 = 4 \Rightarrow x^{2} - x - 6 = 0$

5. Решаем квадратное уравнение:

$D = 1 + 24 = 25 \Rightarrow x = \frac{1 \pm 5}{2} \Rightarrow x_{1} = - 2, x_{2} = 3$

6. Проверка по ОДЗ:

$x = - 2$ — не входит
$x = 3$ — входит

7. Проверка подстановкой:

$\sqrt{3 + 1} - \sqrt{3 - 2} = \sqrt{6 - 5} \Rightarrow \sqrt{4} - \sqrt{1} = \sqrt{1} \Rightarrow 2 - 1 = 1 = 1 \Rightarrow верно$

Ответ:

$x = 3$

Оцени решение