ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 42 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а)
$2\sqrt{x-1}-\sqrt{x+4}=1;$
$2\sqrt{x-1}=1+\sqrt{x+4};$
$4(x-1)=1+2\sqrt{x+4}+x+4;$
$4x-4=x+5+2\sqrt{x+4};$
$3x-9=2\sqrt{x+4};$
$9x^2-54x+81=4(x+4);$
$9x^2-54x+81=4x+16;$
$9x^2-58x+65=0;$
$D={58}^2-4\cdot 9\cdot 65=3364-2340=1024;$
тогда:
$x_1=\frac{58-32}{2\cdot 9}=\frac{26}{18}=\frac{13}{9};$
$x_2=\frac{58+32}{2\cdot 9}=\frac{90}{18}=5;$

Выражение имеет смысл при:
$x-1\ge 0,\text{ отсюда }x\ge 1;$
$x+4\ge 0,\text{ отсюда }x\ge -4;$

Уравнение имеет решения при:
$3x-9\ge 0;$
$3x\ge 9,\text{ отсюда }x\ge 3;$

Ответ: $x=5$.

б)
$\sqrt{x+3}-\sqrt{2x-1}=\sqrt{3x-2};$
$x+3-2\sqrt{(x+3)(2x-1)}+2x-1=3x-2;$
$-2\sqrt{2x^2-x+6x-3}=-4;$
$\sqrt{2x^2+5x-3}=2;$
$2x^2+5x-3=4;$
$2x^2+5x-7=0;$
$D=5^2+4\cdot 2\cdot 7=25+56=81;$
тогда:
$x_1=\frac{-5-9}{2\cdot 2}=\frac{-14}{4}=-3.5;$
$x_2=\frac{-5+9}{2\cdot 2}=\frac{4}{4}=1;$

Выражение имеет смысл при:
$x+3\ge 0,\text{ отсюда }x\ge -3;$
$2x-1\ge 0,\text{ отсюда }x\ge 0.5;$
$3x-2\ge 0,\text{ отсюда }x\ge \frac{2}{3};$

Ответ: $x=1$.

в)
$\sqrt{x+6}-2\sqrt{x-2}=1;$
$\sqrt{x+6}=2\sqrt{x-2}+1;$
$x+6=4(x-2)+4\sqrt{x-2}+1;$
$x+6=4x-8+4\sqrt{x-2}+1;$
$x+6=4x-7+4\sqrt{x-2};$
$13-3x=4\sqrt{x-2};$
$169-78x+9x^2=16(x-2);$
$169-78x+9x^2=16x-32;$
$9x^2-94x+201=0;$
$D={94}^2-4\cdot 9\cdot 201=8836-7236=1600;$
тогда:
$x_1=\frac{94-40}{2\cdot 9}=\frac{54}{18}=3;$
$x_2=\frac{94+40}{2\cdot 9}=\frac{134}{18}=\frac{67}{9};$

Выражение имеет смысл при:
$x+6\ge 0,\text{ отсюда }x\ge -6;$
$x-2\ge 0,\text{ отсюда }x\ge 2;$

Уравнение имеет решения при:
$13-3x\ge 0;$
$3x\le 13,\text{ отсюда }x\le 4\frac{1}{3};$

Ответ: $x=3$.

г)
$\sqrt{x+1}-\sqrt{x-2}=\sqrt{2x-5};$
$x+1-2\sqrt{(x+1)(x-2)}+x-2=2x-5;$
$-2\sqrt{x^2-x+x-2}=-4;$
$\sqrt{x^2-x-2}=2;$
$x^2-x-2=4;$
$x^2-x-6=0;$
$D=1^2+4\cdot 6=1+24=25;$
тогда:
$x_1=\frac{1-5}{2}=-2\text{и}{x}_2=\frac{1+5}{2}=3;$

Выражение имеет смысл при:
$x+1\ge 0,\text{ отсюда }x\ge -1;$
$x-2\ge 0,\text{ отсюда }x\ge 2;$
$2x-5\ge 0,\text{ отсюда }x\ge 2.5;$

Ответ: $x=3$.

а)

$$2\sqrt{x-1}-\sqrt{x+4}=1$$

1. Область допустимых значений (ОДЗ):

Корни определены, если подкоренные выражения неотрицательны:

• $x-1\ge 0\Rightarrow x\ge 1$
• $x+4\ge 0\Rightarrow x\ge -4$

ОДЗ — пересечение:

$$\boxed{{\displaystyle x\ge 1}}$$

2. Перенос слагаемого:

$$2\sqrt{x-1}=1+\sqrt{x+4}$$

3. Возводим обе части в квадрат:

$$(2\sqrt{x-1}{)}^2=(1+\sqrt{x+4}{)}^2\Rightarrow 4(x-1)=1+2\sqrt{x+4}+(x+4)$$

4. Упрощаем:

Левая:

$$4x-4$$

Правая:

$$1+x+4+2\sqrt{x+4}=x+5+2\sqrt{x+4}$$

Получили:

$$4x-4=x+5+2\sqrt{x+4}$$

5. Переносим всё, кроме корня, влево:

$$4x-x-4-5=2\sqrt{x+4}\Rightarrow 3x-9=2\sqrt{x+4}$$

6. Возводим обе части в квадрат ещё раз:

$$(3x-9{)}^2=4(x+4)\Rightarrow 9x^2-54x+81=4x+16$$

7. Переносим всё влево:

$$9x^2-54x+81-4x-16=0\Rightarrow 9x^2-58x+65=0$$

8. Решаем квадратное уравнение:

$$D={58}^2-4\cdot 9\cdot 65=3364-2340=1024\Rightarrow \sqrt{D}=32$$$$x_1=\frac{58-32}{18}=\frac{26}{18}=\frac{13}{9},x_2=\frac{58+32}{18}=\frac{90}{18}=5$$

9. Проверка по ОДЗ:

• $x=\frac{13}{9}\approx 1.44$ — подходит
• $x=5$ — подходит

Но также нужно, чтобы $3x-9\ge 0\Rightarrow x\ge 3$ (иначе корень недопустим при возв. в квадрат)

• $\frac{13}{9}<3\Rightarrow$ не подходит

10. Проверка подстановкой:

Проверим $x=5$:

$$2\sqrt{5-1}-\sqrt{5+4}=2\sqrt{4}-\sqrt{9}=2\cdot 2-3=4-3=1\Rightarrow \text{верно}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle x=5}}$$

б)

$$\sqrt{x+3}-\sqrt{2x-1}=\sqrt{3x-2}$$

1. ОДЗ:

• $x+3\ge 0\Rightarrow x\ge -3$
• $2x-1\ge 0\Rightarrow x\ge \frac{1}{2}$
• $3x-2\ge 0\Rightarrow x\ge \frac{2}{3}$

Пересечение:

$$\boxed{{\displaystyle x\ge \frac{2}{3}}}$$

2. Возводим обе части в квадрат:

$$(\sqrt{x+3}-\sqrt{2x-1}{)}^2=3x-2\Rightarrow x+3+2x-1-2\sqrt{(x+3)(2x-1)}=3x-2$$$$x+3+2x-1=3x+2\Rightarrow 3x+2-2\sqrt{(x+3)(2x-1)}=3x-2$$

3. Убираем одинаковые слагаемые:

$$3x+2-2\sqrt{(x+3)(2x-1)}=3x-2\Rightarrow -2\sqrt{(x+3)(2x-1)}=$$

$$=-4\Rightarrow \sqrt{(x+3)(2x-1)}=2$$

4. Возводим в квадрат:

$$(x+3)(2x-1)=4\Rightarrow 2x^2+5x-3=4\Rightarrow 2x^2+5x-7=0$$

5. Решаем квадратное уравнение:

$$D=25+56=81\Rightarrow \sqrt{D}=9$$$$x_1=\frac{-5-9}{4}=-3.5,x_2=\frac{-5+9}{4}=1$$

6. Проверка по ОДЗ:

• $x=-3.5$ — не входит
• $x=1$ — входит

7. Проверка подстановкой:

$$\sqrt{1+3}-\sqrt{2\cdot 1-1}=\sqrt{3\cdot 1-2}\Rightarrow \sqrt{4}-\sqrt{1}=\sqrt{1}\Rightarrow 2-1=1\Rightarrow \text{верно}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle x=1}}$$

в)

$$\sqrt{x+6}-2\sqrt{x-2}=1$$

1. ОДЗ:

• $x+6\ge 0\Rightarrow x\ge -6$
• $x-2\ge 0\Rightarrow x\ge 2$

Пересечение:

$$\boxed{{\displaystyle x\ge 2}}$$

2. Изолируем корень:

$$\sqrt{x+6}=2\sqrt{x-2}+1$$

3. Возводим в квадрат:

$$x+6=4(x-2)+4\sqrt{x-2}+1\Rightarrow x+6=4x-8+4\sqrt{x-2}+1\Rightarrow x+6=$$

$$=4x-7+4\sqrt{x-2}$$

4. Переносим всё влево:

$$x+6-4x+7=4\sqrt{x-2}\Rightarrow 13-3x=4\sqrt{x-2}$$

5. Возводим обе части в квадрат:

$$(13-3x{)}^2=16(x-2)\Rightarrow 169-78x+9x^2=16x-32$$

6. Переносим всё влево:

$$9x^2-94x+201=0$$

7. Решаем квадратное уравнение:

$$D={94}^2-4\cdot 9\cdot 201=8836-7236=1600\Rightarrow \sqrt{D}=40$$$$x_1=\frac{94-40}{18}=3,x_2=\frac{94+40}{18}=\frac{134}{18}=\frac{67}{9}$$

8. Проверка по ОДЗ и ограничению:

ОДЗ: $x\ge 2$
Доп. условие: $13-3x\ge 0\Rightarrow x\le \frac{13}{3}=4\frac{1}{3}$

• $x=3$ — входит
• $\frac{67}{9}\approx 7.44$ — не входит

9. Проверка подстановкой:

$x=3\Rightarrow \sqrt{9}-2\sqrt{1}=3-2=1$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle x=3}}$$

г)

$$\sqrt{x+1}-\sqrt{x-2}=\sqrt{2x-5}$$

1. ОДЗ:

• $x+1\ge 0\Rightarrow x\ge -1$
• $x-2\ge 0\Rightarrow x\ge 2$
• $2x-5\ge 0\Rightarrow x\ge 2.5$

Пересечение:

$$\boxed{{\displaystyle x\ge 2.5}}$$

2. Возводим обе части в квадрат:

$$(x+1)-2\sqrt{(x+1)(x-2)}+(x-2)=2x-5\Rightarrow 2x-1-2\sqrt{(x+1)(x-2)}=2x-5$$

3. Убираем $2x$:

$$-1-2\sqrt{(x+1)(x-2)}=-5\Rightarrow -2\sqrt{(x+1)(x-2)}=-4\Rightarrow \sqrt{(x+1)(x-2)}=2$$

4. Возводим в квадрат:

$$(x+1)(x-2)=4\Rightarrow x^2-x-2=4\Rightarrow x^2-x-6=0$$

5. Решаем квадратное уравнение:

$$D=1+24=25\Rightarrow x=\frac{1\pm 5}{2}\Rightarrow x_1=-2,x_2=3$$

6. Проверка по ОДЗ:

• $x=-2$ — не входит
• $x=3$ — входит

7. Проверка подстановкой:

$$\sqrt{3+1}-\sqrt{3-2}=\sqrt{6-5}\Rightarrow \sqrt{4}-\sqrt{1}=\sqrt{1}\Rightarrow 2-1=1=1\Rightarrow \text{верно}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle x=3}}$$