ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.10 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у = f(x) в каждой из указанных точек:

а) $f(x) = x^2 — 9|x| + 14$;

б) $f(x) = x^2 — 4|x| — 12$

а) $f(x) = x^2 — 9|x| + 14$;

По определению модуля числа:

$$f(x) = \begin{cases} x^2 — 9x + 14, & \text{если } x \geq 0; \\ x^2 + 9x + 14, & \text{если } x < 0; \end{cases}$$ $$f'(x \geq 0) = (x^2)’ — (9x — 14)’ = 2x — 9;$$ $$f'(x < 0) = (x^2)’ + (9x + 14)’ = 2x + 9;$$

Значения производной:

$$f'(-7) = 2x + 9 = 2 \cdot (-7) + 9 = -14 + 9 = -5;$$ $$f'(4,5) = 2x — 9 = 2 \cdot 4,5 — 9 = 9 — 9 = 0;$$ $$f'(8) = 2x — 9 = 2 \cdot 8 — 9 = 16 — 9 = 7;$$

Ответ: $-5; 0; 7$.

б) $f(x) = x^2 — 4|x| — 12$;

По определению модуля числа:

$$f(x) = \begin{cases} x^2 — 4x — 12, & \text{если } x \geq 0; \\ x^2 + 4x — 12, & \text{если } x < 0; \end{cases}$$ $$f'(x \geq 0) = (x^2)’ — (4x + 12)’ = 2x — 4;$$ $$f'(x < 0) = (x^2)’ + (4x — 12)’ = 2x + 4;$$

Значения производной:

$$f'(-3) = 2x + 4 = 2 \cdot (-3) + 4 = -6 + 4 = -2;$$ $$f'(-2) = 2x + 4 = 2 \cdot (-2) + 4 = -4 + 4 = 0;$$ $$f'(2) = 2x — 4 = 2 \cdot 2 — 4 = 4 — 4 = 0;$$

Ответ: $-2; 0; 0$.

а) $f(x) = x^2 — 9|x| + 14$

Шаг 1: Разделение функции на куски

Для начала разберемся, как мы можем выразить функцию, учитывая модуль. Модуль числа $|x|$ можно записать как:

$$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \geq 0; \\ -x, & \text{если } x < 0. \end{cases}$$

Тогда функцию можно записать как:

$$f(x) = \begin{cases} x^2 — 9x + 14, & \text{если } x \geq 0; \\ x^2 + 9x + 14, & \text{если } x < 0. \end{cases}$$

Шаг 2: Нахождение производной для каждой области

Для $x \geq 0$, функция $f(x) = x^2 — 9x + 14$:

Используем стандартные правила дифференцирования:

$$f'(x) = (x^2)’ — (9x)’ + (14)’ = 2x — 9.$$

Для $x < 0$, функция $f(x) = x^2 + 9x + 14$:

Используем стандартные правила дифференцирования:

$$f'(x) = (x^2)’ + (9x)’ + (14)’ = 2x + 9.$$

Шаг 3: Вычисление значений производной в точках

Теперь вычислим значения производной в конкретных точках:

В точке $x = -7$ (для $x < 0$):

Используем производную $f'(x) = 2x + 9$:

$$f'(-7) = 2(-7) + 9 = -14 + 9 = -5.$$

В точке $x = 4.5$ (для $x \geq 0$):

Используем производную $f'(x) = 2x — 9$:

$$f'(4.5) = 2(4.5) — 9 = 9 — 9 = 0.$$

В точке $x = 8$ (для $x \geq 0$):

Используем производную $f'(x) = 2x — 9$:

$$f'(8) = 2(8) — 9 = 16 — 9 = 7.$$

Ответ: $-5; 0; 7$.

б) $f(x) = x^2 — 4|x| — 12$

Шаг 1: Разделение функции на куски

Модуль $|x|$ снова можно разделить на два случая:

$$f(x) = \begin{cases} x^2 — 4x — 12, & \text{если } x \geq 0; \\ x^2 + 4x — 12, & \text{если } x < 0. \end{cases}$$

Шаг 2: Нахождение производной для каждой области

Для $x \geq 0$, функция $f(x) = x^2 — 4x — 12$:

Используем стандартные правила дифференцирования:

$$f'(x) = (x^2)’ — (4x)’ — (12)’ = 2x — 4.$$

Для $x < 0$, функция $f(x) = x^2 + 4x — 12$:

Используем стандартные правила дифференцирования:

$$f'(x) = (x^2)’ + (4x)’ — (12)’ = 2x + 4.$$

Шаг 3: Вычисление значений производной в точках

Теперь вычислим значения производной в конкретных точках:

В точке $x = -3$ (для $x < 0$):

Используем производную $f'(x) = 2x + 4$:

$$f'(-3) = 2(-3) + 4 = -6 + 4 = -2.$$

В точке $x = -2$ (для $x < 0$):

Используем производную $f'(x) = 2x + 4$:

$$f'(-2) = 2(-2) + 4 = -4 + 4 = 0.$$

В точке $x = 2$ (для $x \geq 0$):

Используем производную $f'(x) = 2x — 4$:

$$f'(2) = 2(2) — 4 = 4 — 4 = 0.$$

Ответ: $-2; 0; 0$.