ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.16 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Какой угол образует с осью х касательная, проведенная к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х = а:

а) $f(x) = x^3 — 3x^2 + 2x — 7$ и $a = 1$;

б) $f(x) = -7x^3 + 10x^2 + x — 12$ и $a = 0$

а) $f(x) = x^3 — 3x^2 + 2x — 7$ и $a = 1$;

$f'(x) = (x^3)’ — 3(x^2)’ + (2x — 7)’$;

$f'(x) = 3x^2 — 3 \cdot 2x + 2 = 3x^2 — 6x + 2$;

$f'(a) = 3 \cdot 1^2 — 6 \cdot 1 + 2 = 3 — 6 + 2 = -1$;

$tg \varphi = -1$, отсюда $\varphi = arctg 1 = -\frac{\pi}{4} = -45^\circ$;

Ответ: $-\frac{\pi}{4} = -45^\circ$.

б) $f(x) = -7x^3 + 10x^2 + x — 12$ и $a = 0$;

$f'(x) = (-7x^3)’ + 10(x^2)’ + (x — 12)’$;

$f'(x) = -7 \cdot 3x^2 + 10 \cdot 2x + 1 = -21x^2 + 20x + 1$;

$f'(a) = -21 \cdot 0^2 + 20 \cdot 0 + 1 = 1$;

$tg \varphi = 1$, отсюда $\varphi = arctg 1 = \frac{\pi}{4} = 45^\circ$;

Ответ: $\frac{\pi}{4} = 45^\circ$.

а) $f(x) = x^3 — 3x^2 + 2x — 7$, $a = 1$

Шаг 1: Найдём производную функции $f(x)$

Рассчитаем производные по каждому слагаемому:

• $(x^3)’ = 3x^2$
• $(-3x^2)’ = -3 \cdot 2x = -6x$
• $(2x)’ = 2$
• $(-7)’ = 0$

Соберём всё вместе:

$$f'(x) = 3x^2 — 6x + 2$$

Шаг 2: Подставим $a = 1$ в производную

$$f'(1) = 3 \cdot 1^2 — 6 \cdot 1 + 2 = 3 — 6 + 2 = -1$$

Шаг 3: Найдём угол наклона касательной

Производная в точке — это угловой коэффициент касательной, то есть:

$$\tg \varphi = f'(1) = -1$$

Решаем:

$$\varphi = \arctg(-1) = -\frac{\pi}{4} = -45^\circ$$

Ответ:

$$-\frac{\pi}{4} = -45^\circ$$

б) $f(x) = -7x^3 + 10x^2 + x — 12$, $a = 0$

Шаг 1: Найдём производную функции

По частям:

• $(-7x^3)’ = -7 \cdot 3x^2 = -21x^2$
• $(10x^2)’ = 10 \cdot 2x = 20x$
• $(x)’ = 1$
• $(-12)’ = 0$

Итоговая производная:

$$f'(x) = -21x^2 + 20x + 1$$

Шаг 2: Подставим $a = 0$ в производную

$$f'(0) = -21 \cdot 0^2 + 20 \cdot 0 + 1 = 1$$

Шаг 3: Найдём угол наклона касательной

$$\tg \varphi = f'(0) = 1$$

Решаем:

$$\varphi = \arctg(1) = \frac{\pi}{4} = 45^\circ$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{4} = 45^\circ$$