ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.20 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $f(x) = \operatorname{tg} x + \sin \frac{x}{3}$ и $a = 3\pi$;

$f'(x) = (\operatorname{tg} x)’ + \left( \sin \frac{x}{3} \right)’ = \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{1}{3} \cos \frac{x}{3};$

$f'(a) = \frac{1}{\cos^2 3\pi} + \frac{1}{3} \cos \frac{3\pi}{3} = \frac{1}{\cos^2 \pi} + \frac{1}{3} \cos \pi = \frac{1}{(-1)^2} — \frac{1}{3} = \frac{2}{3};$

$\operatorname{tg} \varphi = \frac{2}{3},$ отсюда $\varphi = \operatorname{arctg} \frac{2}{3} \approx 33{,}69^\circ;$

Ответ: $\operatorname{arctg} \frac{2}{3} \approx 33{,}69^\circ.$

б) $f(x) = \cos x + \operatorname{ctg} \frac{x}{2}$ и $a = \frac{\pi}{3};$

$f'(x) = (\cos x)’ + \left( \operatorname{ctg} \frac{x}{2} \right)’ = -\sin x — \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sin^2 \frac{x}{2}};$

$f'(a) = -\sin \frac{\pi}{3} — \frac{1}{2 \cdot \sin^2 \left( \frac{\pi}{3 \cdot 2} \right)} = -\sin \frac{\pi}{3} — \frac{1}{2 \cdot \sin^2 \left( \frac{\pi}{6} \right)} = -\frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{1}{2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^2} =$

$= -\frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{4}} = -\frac{\sqrt{3}}{2} — \left( 1 : \frac{1}{2} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} — 2;$

$\operatorname{tg} \varphi = -\left( \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \right),$ отсюда $\varphi = -\operatorname{arctg} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \right) \approx -70{,}77^\circ;$

Ответ: $-\operatorname{arctg} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \right) \approx -70{,}77^\circ.$

а)

Дано:

• $f(x) = \operatorname{tg} x + \sin \dfrac{x}{3}$
• $a = 3\pi$

Найти угол наклона касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x = a$, т.е. вычислить производную $f'(x)$, затем $f'(a)$, а потом угол $\varphi$, где $\operatorname{tg} \varphi = f'(a)$.

Шаг 1: Найдём производную функции $f(x)$:

$$f(x) = \operatorname{tg} x + \sin \dfrac{x}{3}$$

Производная от $\operatorname{tg} x$ равна:

$$(\operatorname{tg} x)’ = \dfrac{1}{\cos^2 x}$$

Производная от $\sin \dfrac{x}{3}$ с использованием правила цепочки:

$$\left( \sin \dfrac{x}{3} \right)’ = \cos \dfrac{x}{3} \cdot \left( \dfrac{1}{3} \right) = \dfrac{1}{3} \cos \dfrac{x}{3}$$

Сложим обе производные:

$$f'(x) = \dfrac{1}{\cos^2 x} + \dfrac{1}{3} \cos \dfrac{x}{3}$$

Шаг 2: Подставим $x = a = 3\pi$:

$$f'(3\pi) = \dfrac{1}{\cos^2 3\pi} + \dfrac{1}{3} \cos \left( \dfrac{3\pi}{3} \right)$$

Упростим:

• $\cos 3\pi = \cos \pi = -1$, поскольку $\cos$ — функция с периодом $2\pi$.
• Тогда:

  $$\cos^2 3\pi = (-1)^2 = 1$$

• $\cos \left( \dfrac{3\pi}{3} \right) = \cos \pi = -1$

Подставим:

$$f'(3\pi) = \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{3} \cdot (-1) = 1 — \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$$

Шаг 3: Найдём угол наклона касательной:

Поскольку $f'(a) = \dfrac{2}{3}$, это значение углового коэффициента касательной, то есть:

$$\operatorname{tg} \varphi = \dfrac{2}{3}$$

Найдём сам угол:

$$\varphi = \operatorname{arctg} \dfrac{2}{3}$$

Используем калькулятор или таблицы:

$$\operatorname{arctg} \dfrac{2}{3} \approx 33{,}69^\circ$$

Ответ:

$$\operatorname{arctg} \dfrac{2}{3} \approx 33{,}69^\circ$$

б)

Дано:

• $f(x) = \cos x + \operatorname{ctg} \dfrac{x}{2}$
• $a = \dfrac{\pi}{3}$

Шаг 1: Найдём производную $f(x)$:

$$f(x) = \cos x + \operatorname{ctg} \dfrac{x}{2}$$

Производная от $\cos x$:

$$(\cos x)’ = -\sin x$$

Производная от $\operatorname{ctg} \dfrac{x}{2}$:

Используем формулу производной от $\operatorname{ctg} u$:

$$(\operatorname{ctg} u)’ = -\dfrac{1}{\sin^2 u} \cdot u’$$

Здесь $u = \dfrac{x}{2} \Rightarrow u’ = \dfrac{1}{2}$

Тогда:

$$\left( \operatorname{ctg} \dfrac{x}{2} \right)’ = -\dfrac{1}{\sin^2 \dfrac{x}{2}} \cdot \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{2 \cdot \sin^2 \dfrac{x}{2}}$$

Объединяем:

$$f'(x) = -\sin x — \dfrac{1}{2 \cdot \sin^2 \dfrac{x}{2}}$$

Шаг 2: Подставим $x = \dfrac{\pi}{3}$:

$$f’\left( \dfrac{\pi}{3} \right) = -\sin \dfrac{\pi}{3} — \dfrac{1}{2 \cdot \sin^2 \left( \dfrac{\pi}{6} \right)}$$

Значения тригонометрических функций:

• $\sin \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
• $\sin \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \sin^2 \dfrac{\pi}{6} = \left( \dfrac{1}{2} \right)^2 = \dfrac{1}{4}$

Подставим:

$$f’\left( \dfrac{\pi}{3} \right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} — \dfrac{1}{2 \cdot \dfrac{1}{4}} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} — \dfrac{1}{\dfrac{1}{2}} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} — 2$$

Шаг 3: Найдём угол наклона касательной:

$$\operatorname{tg} \varphi = f’\left( \dfrac{\pi}{3} \right) = -\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} + 2 \right)$$

Тогда:

$$\varphi = \operatorname{arctg} \left[ -\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} + 2 \right) \right] = -\operatorname{arctg} \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} + 2 \right)$$

Вычислим:

• $\dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx \dfrac{1{,}732}{2} \approx 0{,}866$
• $0{,}866 + 2 = 2{,}866$
• $\operatorname{arctg}(2{,}866) \approx 70{,}77^\circ$

Итак:

$$\varphi \approx -70{,}77^\circ$$

Ответ:

$$-\operatorname{arctg} \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} + 2 \right) \approx -70{,}77^\circ$$