ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.21 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Какой угол образует с осью х касательная, проведенная к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х = а:

а) $f(x) = |2x — x^2|$ и $a = 1$;

б) $f(x) = |x^2 — 3x — 4|$ и $a = -2$;

в) $f(x) = |x^2 + 4x|$ и $a = -3$;

г) $f(x) = |x^2 — 3x — 4|$ и $a = -1$

а) $f(x) = |2x — x^2|$ и $a = 1$;

$2x — x^2 \geq 0$;
$x(2 — x) \geq 0$;
$0 \leq x \leq 2$;

По определению модуля числа:

$$f(x) = \begin{cases} 2x — x^2, & \text{если } 0 \leq x \leq 2 \\ x^2 — 2x, & \text{если } x < 0 \text{ или } x > 2 \end{cases};$$

Значение производной:

$$f'(x) = (2x)’ — (x^2)’ = 2 — 2x;$$ $$f'(a) = 2 — 2 \cdot 1 = 2 — 2 = 0;$$

$\operatorname{tg} \varphi = 0$, отсюда $\varphi = \operatorname{arctg} 0 = 0$;

Ответ: $0$.

б) $f(x) = |x^2 — 3x — 4|$ и $a = -2$;

$x^2 — 3x — 4 = 0$;
$D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25$, тогда:

$$x_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4;$$ $$(x + 1)(x — 4) \geq 0;$$ $$x \leq -1 \text{ или } x \geq 4;$$

По определению модуля числа:

$$f(x) = \begin{cases} x^2 — 3x — 4, & \text{если } x \leq -1 \text{ или } x > 4 \\ 3x + 4 — x^2, & \text{если } -1 < x < 4 \end{cases};$$

Значение производной:

$$f'(x) = (x^2)’ — (3x + 4)’ = 2x — 3;$$ $$f'(a) = 2 \cdot (-2) — 3 = -4 — 3 = -7;$$

$\operatorname{tg} \varphi = -7$, отсюда $\varphi = \operatorname{arctg} 7 \approx -81,87^\circ$;

Ответ: $\operatorname{arctg} 7 \approx -81,87$.

в) $f(x) = |x^2 + 4x|$ и $a = -3$;

$x^2 + 4x \geq 0$;
$x(x + 4) \geq 0$;
$x \leq -4 \text{ или } x \geq 0$;

По определению модуля числа:

$$f(x) = \begin{cases} x^2 + 4x, & \text{если } x \leq -4 \text{ или } x \geq 0 \\ -x^2 — 4x, & \text{если } -4 \leq x \leq 0 \end{cases};$$

Значение производной:

$$f'(x) = -(x^2)’ — (4x)’ = -2x — 4;$$ $$f'(a) = -2 \cdot (-3) — 4 = 6 — 4 = 2;$$

$\operatorname{tg} \varphi = 2$, отсюда $\varphi = \operatorname{arctg} 2 \approx 63,43^\circ$;

Ответ: $\operatorname{arctg} 2 \approx 63,43^\circ$.

г) $f(x) = |x^2 — 3x — 4|$ и $a = -1$;

$x^2 — 3x — 4 = 0$;
$D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25$, тогда:

$$x_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4;$$ $$(x + 1)(x — 4) \geq 0;$$ $$x \leq -1 \text{ или } x \geq 4;$$

По определению модуля числа:

$$f(x) = \begin{cases} x^2 — 3x — 4, & \text{если } x \leq -1 \text{ или } x > 4 \\ 3x + 4 — x^2, & \text{если } -1 < x < 4 \end{cases};$$ $$f’_1(x \leq -1, x > 4) = (x^2)’ — (3x + 4)’ = 2x — 3;$$ $$f’_2(-1 < x < 4) = (3x + 4)’ — (x^2)’ = 3 — 2x;$$

Искомая точка располагается в месте «стыка»:

$$f’_1(a) = 2 \cdot (-1) — 3 = -2 — 3 = -5;$$ $$f’_2(a) = 3 — 2 \cdot (-1) = 3 + 2 = 5;$$ $$f’_1(a) \neq f’_2(a) \text{— производной не существует};$$

Ответ: нет.

а) $f(x) = |2x — x^2|$, $a = 1$

Шаг 1. Найдём, когда подмодульное выражение $2x — x^2 \geq 0$

Это нужно для раскрытия модуля, т.к. знак выражения под модулем определяет, с каким знаком оно выйдет из-под модуля.

$$2x — x^2 \geq 0$$

Приведём к стандартному виду квадратного неравенства:

$$— x^2 + 2x \geq 0$$

Домножим обе части на $-1$, не забывая сменить знак неравенства:

$$x^2 — 2x \leq 0$$

Решим это неравенство:

$$x(x — 2) \leq 0$$

Решением будет промежуток, где произведение неположительно:

$$x \in [0, 2]$$

Шаг 2. Раскроем модуль по определению

Модуль $|A|$ раскрывается как:

• $A$, если $A \geq 0$
• $-A$, если $A < 0$

Значит:

$$f(x) = \begin{cases} 2x — x^2, & \text{если } x \in [0, 2] \\ x^2 — 2x, & \text{если } x < 0 \text{ или } x > 2 \end{cases}$$

Шаг 3. Найдём производную в точке $a = 1$

Поскольку $1 \in [0, 2]$, используем первую ветвь функции:

$$f(x) = 2x — x^2$$

Находим производную:

$$f'(x) = (2x)’ — (x^2)’ = 2 — 2x$$

Подставим $x = 1$:

$$f'(1) = 2 — 2 \cdot 1 = 0$$

Шаг 4. Вычислим угол наклона касательной

Тангенс угла между касательной и осью абсцисс равен производной:

$$\tan \varphi = f'(a) = 0$$

Значит:

$$\varphi = \arctan(0) = 0$$

Ответ: $\boxed{0}$

б) $f(x) = |x^2 — 3x — 4|$, $a = -2$

Шаг 1. Найдём, где подмодульное выражение неотрицательно

Решим:

$$x^2 — 3x — 4 \geq 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$x^2 — 3x — 4 = 0$$

Дискриминант:

$$D = (-3)^2 + 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 + 16 = 25$$

Корни:

$$x_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4$$

Значит:

$$(x + 1)(x — 4) \geq 0$$

Решение:

$$x \in (-\infty, -1] \cup [4, +\infty)$$

Шаг 2. Раскроем модуль

$$f(x) = \begin{cases} x^2 — 3x — 4, & x \leq -1 \text{ или } x \geq 4 \\ -(x^2 — 3x — 4) = 3x + 4 — x^2, & -1 < x < 4 \end{cases}$$

Шаг 3. Найдём производную в точке $a = -2$

Так как $-2 < -1$, используем первую ветвь:

$$f(x) = x^2 — 3x — 4$$ $$f'(x) = (x^2)’ — (3x)’ = 2x — 3$$ $$f'(-2) = 2 \cdot (-2) — 3 = -4 — 3 = -7$$

Шаг 4. Найдём угол:

$$\tan \varphi = -7 \Rightarrow \varphi = \arctan(-7)$$

Углы с отрицательным тангенсом — это углы с наклоном вниз. Вычисление:

$$\varphi \approx -81.87^\circ$$

Ответ: $\boxed{\arctg 7 \approx -81{,}87^\circ}$

в) $f(x) = |x^2 + 4x|$, $a = -3$

Шаг 1. Найдём, когда $x^2 + 4x \geq 0$

$$x(x + 4) \geq 0$$

Решение методом интервалов:

$$x \in (-\infty, -4] \cup [0, +\infty)$$

Шаг 2. Раскрываем модуль:

$$f(x) = \begin{cases} x^2 + 4x, & x \leq -4 \text{ или } x \geq 0 \\ — (x^2 + 4x) = -x^2 — 4x, & -4 < x < 0 \end{cases}$$

Шаг 3. Найдём производную при $a = -3$

Так как $-3 \in (-4, 0)$, используем вторую ветвь:

$$f(x) = -x^2 — 4x$$

Находим производную:

$$f'(x) = -2x — 4$$

Подставим $x = -3$:

$$f'(-3) = -2 \cdot (-3) — 4 = 6 — 4 = 2$$

Шаг 4. Найдём угол:

$$\tan \varphi = 2 \Rightarrow \varphi = \arctan(2) \approx 63.43^\circ$$

Ответ: $\boxed{\arctg 2 \approx 63{,}43^\circ}$

г) $f(x) = |x^2 — 3x — 4|$, $a = -1$

Шаг 1. Как в пункте (б), решаем:

$$x^2 — 3x — 4 \geq 0 \Rightarrow x \in (-\infty, -1] \cup [4, +\infty)$$

Шаг 2. Раскрываем модуль:

$$f(x) = \begin{cases} x^2 — 3x — 4, & x \leq -1 \text{ или } x > 4 \\ 3x + 4 — x^2, & -1 < x < 4 \end{cases}$$

Шаг 3. Точка $x = -1$ — граничная между ветвями

Найдём односторонние производные:

• Слева ($x \leq -1$):

  $$f_1(x) = x^2 — 3x — 4 \Rightarrow f_1′(x) = 2x — 3$$ $$f_1′(-1) = 2 \cdot (-1) — 3 = -2 — 3 = -5$$

• Справа ($x > -1$):

  $$f_2(x) = 3x + 4 — x^2 \Rightarrow f_2′(x) = 3 — 2x$$ $$f_2′(-1) = 3 — 2 \cdot (-1) = 3 + 2 = 5$$

Шаг 4. Сравниваем односторонние производные:

$$f_1′(-1) = -5, \quad f_2′(-1) = 5 \Rightarrow \text{производная не существует}$$

Так как односторонние производные не равны, $f'(a)$ не существует.

Ответ: $\boxed{\text{нет}}$ — производной не существует