ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.24 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Составьте уравнение касательной к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х = а:

а) $f(x) = 2\sqrt{3x — 5}$ и $a = 2$;

б) $f(x) = \sqrt{7 — 2x}$ и $a = 3$

Уравнение касательной имеет вид:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a),$$

где $a$ — абсцисса точки касания;

а) $f(x) = 2\sqrt{3x — 5}$ и $a = 2$;

$f(a) = 2\sqrt{3 \cdot 2 — 5} = 2\sqrt{6 — 5} = 2\sqrt{1} = 2$;

Пусть $u = 3x — 5$, тогда $f(x) = 2\sqrt{u}$;

$$f'(x) = 2(\sqrt{u})’ \cdot (3x — 5)’ = \frac{2}{2\sqrt{u}} \cdot 3 = \frac{3}{\sqrt{3x — 5}};$$ $$f'(a) = \frac{3}{\sqrt{3 \cdot 2 — 5}} = \frac{3}{\sqrt{6 — 5}} = \frac{3}{\sqrt{1}} = 3;$$

$y = 2 + 3(x — 2) = 2 + 3x — 6 = 3x — 4$;

Ответ: $y = 3x — 4$.

б) $f(x) = \sqrt{7 — 2x}$ и $a = 3$;

$f(a) = \sqrt{7 — 2 \cdot 3} = \sqrt{7 — 6} = \sqrt{1} = 1$;

Пусть $u = 7 — 2x$, тогда $f(x) = \sqrt{u}$;

$$f'(x) = (\sqrt{u})’ \cdot (7 — 2x)’ = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot (-2) = -\frac{1}{\sqrt{7 — 2x}};$$ $$f'(a) = -\frac{1}{\sqrt{7 — 2 \cdot 3}} = -\frac{1}{\sqrt{7 — 6}} = -\frac{1}{\sqrt{1}} = -1;$$

$y = 1 — 1 \cdot (x — 3) = 1 — x + 3 = 4 — x$;

Ответ: $y = 4 — x$.

Общее уравнение касательной:

Если дана функция $f(x)$, и мы хотим найти уравнение касательной к её графику в точке $x = a$, то используется формула:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a),$$

где:

• $f(a)$ — значение функции в точке касания;
• $f'(a)$ — производная функции в этой точке (угловой коэффициент касательной);
• $x$ — переменная;
• $y$ — значение по касательной.

а) $f(x) = 2\sqrt{3x — 5}$, $a = 2$

Шаг 1: Вычислим $f(a) = f(2)$

Подставим $x = 2$ в функцию:

$$f(2) = 2\sqrt{3 \cdot 2 — 5} = 2\sqrt{6 — 5} = 2\sqrt{1} = 2 \cdot 1 = 2$$

Шаг 2: Найдём производную $f'(x)$

Функция имеет вид:

$$f(x) = 2\sqrt{3x — 5}$$

Пусть:

• $u = 3x — 5$, тогда
• $f(x) = 2\sqrt{u} = 2 \cdot u^{1/2}$

Применяем цепное правило для производной сложной функции:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}[2u^{1/2}] = 2 \cdot \frac{d}{dx}[u^{1/2}] = 2 \cdot \left( \frac{1}{2}u^{-1/2} \cdot u’ \right)$$

Находим производную внутренней функции $u(x) = 3x — 5$:

$$u'(x) = \frac{d}{dx}(3x — 5) = 3$$

Подставляем:

$$f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot 3 = \frac{3}{\sqrt{u}} = \frac{3}{\sqrt{3x — 5}}$$

Шаг 3: Подставим $x = 2$ в производную

$$f'(2) = \frac{3}{\sqrt{3 \cdot 2 — 5}} = \frac{3}{\sqrt{6 — 5}} = \frac{3}{\sqrt{1}} = \frac{3}{1} = 3$$

Шаг 4: Подставим всё в уравнение касательной

$$y = f(a) + f'(a)(x — a) = 2 + 3(x — 2)$$

Раскрываем скобки:

$$y = 2 + 3x — 6 = 3x — 4$$

Ответ: $y = 3x — 4$

б) $f(x) = \sqrt{7 — 2x}$, $a = 3$

Шаг 1: Вычислим $f(a) = f(3)$

Подставим $x = 3$ в функцию:

$$f(3) = \sqrt{7 — 2 \cdot 3} = \sqrt{7 — 6} = \sqrt{1} = 1$$

Шаг 2: Найдём производную $f'(x)$

Имеем:

$$f(x) = \sqrt{7 — 2x}$$

Представим в виде степенной функции:

$$f(x) = (7 — 2x)^{1/2}$$

Пусть:

• $u = 7 — 2x$, тогда
• $f(x) = u^{1/2}$

Используем цепное правило:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}[u^{1/2}] = \frac{1}{2}u^{-1/2} \cdot u’$$

Находим $u'(x) = \frac{d}{dx}(7 — 2x) = -2$

Подставляем:

$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot (-2) = -\frac{1}{\sqrt{u}} = -\frac{1}{\sqrt{7 — 2x}}$$

Шаг 3: Найдём значение производной в точке $x = 3$

$$f'(3) = -\frac{1}{\sqrt{7 — 2 \cdot 3}} = -\frac{1}{\sqrt{7 — 6}} = -\frac{1}{\sqrt{1}} = -1$$

Шаг 4: Составим уравнение касательной

$$y = f(a) + f'(a)(x — a) = 1 + (-1)(x — 3)$$ $$y = 1 — x + 3 = 4 — x$$

Ответ: $y = 4 — x$