ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.25 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Составьте уравнение касательной к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х = а:

а) $f(x) = \cos \frac{x}{3}$ и $a = 0$;

б) $f(x) = \operatorname{ctg} 2x$ и $a = \frac{\pi}{4}$;

в) $f(x) = \sin 2x$ и $a = \frac{\pi}{4}$;

г) $f(x) = 2 \operatorname{tg} \frac{x}{3}$ и $a = 0$

Уравнение касательной имеет вид:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a),$$

где $a$ — абсцисса точки касания;

а) $f(x) = \cos \frac{x}{3}$ и $a = 0$;

$f(a) = \cos \frac{0}{3} = \cos 0 = 1$;

Пусть $u = \frac{x}{3}$, тогда $f(x) = \cos u$;

$$f'(x) = (\cos u)’ \cdot \frac{1}{3}(x)’ = -\sin u \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{3} \sin \frac{x}{3};$$

$f'(a) = -\frac{1}{3} \sin \frac{0}{3} = -\frac{1}{3} \sin 0 = -\frac{1}{3} \cdot 0 = 0$;

$y = 1 + 0(x — 0) = 1$;

Ответ: $y = 1$.

б) $f(x) = \operatorname{ctg} 2x$ и $a = \frac{\pi}{4}$;

$f(a) = \operatorname{ctg} \frac{2\pi}{4} = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{2} = 0$;

Пусть $u = 2x$, тогда $f(x) = \operatorname{ctg} u$;

$$f'(x) = (\operatorname{ctg} u)’ \cdot (2x)’ = -\frac{1}{\sin^2 u} \cdot 2 = -\frac{2}{\sin^2 2x};$$

$f'(a) = -\frac{2}{\sin^2 \frac{2\pi}{4}} = -\frac{2}{\sin^2 \frac{\pi}{2}} = -\frac{2}{1^2} = -2$;

$y = 0 — 2 \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = -2x + \frac{\pi}{2}$;

Ответ: $y = \frac{\pi}{2} — 2x$.

в) $f(x) = \sin 2x$ и $a = \frac{\pi}{4}$;

$f(a) = \sin \frac{2\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{2} = 1$;

Пусть $u = 2x$, тогда $f(x) = \sin u$;

$$f'(x) = (\sin u)’ \cdot (2x)’ = \cos u \cdot 2 = 2 \cos 2x;$$

$f'(a) = 2 \cos \frac{2\pi}{4} = 2 \cos \frac{\pi}{2} = 2 \cdot 0 = 0$;

$y = 1 + 0 \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = 1$;

Ответ: $y = 1$.

г) $f(x) = 2 \operatorname{tg} \frac{x}{3}$ и $a = 0$;

$f(a) = 2 \cdot \operatorname{tg} \frac{0}{3} = 2 \cdot \operatorname{tg} 0 = 2 \cdot 0 = 0$;

Пусть $u = \frac{x}{3}$, тогда $f(x) = 2 \operatorname{tg} u$;

$$f'(x) = 2 (\operatorname{tg} u)’ \cdot \frac{1}{3}(x)’ = \frac{2}{\cos^2 u} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3 \cos^2 \frac{x}{3}};$$

$f'(a) = \frac{2}{3 \cos^2 \frac{0}{3}} = \frac{2}{3 \cos^2 0} = \frac{2}{3 \cdot 1^2} = \frac{2}{3}$;

$y = 0 + \frac{2}{3}(x — 0) = \frac{2}{3}x$;

Ответ: $y = \frac{2}{3}x$.

Общая формула касательной:

Если дана функция $f(x)$, и требуется найти уравнение касательной к графику этой функции в точке $x = a$, то используем:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a)$$

где:

• $f(a)$ — значение функции в точке $a$;
• $f'(a)$ — производная функции в точке $a$, то есть угловой коэффициент касательной;
• $x$ — переменная уравнения.

а) $f(x) = \cos\left(\frac{x}{3}\right), \quad a = 0$

Шаг 1: Вычисляем значение функции в точке $x = 0$

$$f(0) = \cos\left(\frac{0}{3}\right) = \cos(0) = 1$$

Шаг 2: Вычисляем производную $f'(x)$

Функция сложная: $f(x) = \cos(u)$, где $u = \frac{x}{3}$

Производная внешней функции $\cos(u)$:

$$\frac{d}{du}[\cos(u)] = -\sin(u)$$

Производная внутренней функции $u = \frac{x}{3}$:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{3}\right) = \frac{1}{3}$$

Применяем цепное правило:

$$f'(x) = -\sin\left(\frac{x}{3}\right) \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{3}\sin\left(\frac{x}{3}\right)$$

Шаг 3: Подставляем $x = 0$ в производную

$$f'(0) = -\frac{1}{3} \cdot \sin\left(\frac{0}{3}\right) = -\frac{1}{3} \cdot \sin(0) = 0$$

Шаг 4: Составляем уравнение касательной

$$y = 1 + 0 \cdot (x — 0) = 1$$

Ответ: $y = 1$

б) $f(x) = \cot(2x), \quad a = \frac{\pi}{4}$

Шаг 1: Вычисляем значение функции в точке $x = \frac{\pi}{4}$

$$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cot(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = \cot\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$$

(так как $\cot(\frac{\pi}{2}) = \frac{\cos(\frac{\pi}{2})}{\sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{0}{1} = 0$)

Шаг 2: Вычисляем производную $f'(x)$

Функция сложная: $f(x) = \cot(u), \; u = 2x$

Производная внешней функции $\cot(u)$:

$$\frac{d}{du}[\cot(u)] = -\frac{1}{\sin^2(u)}$$

Производная внутренней функции $u = 2x$:

$$\frac{d}{dx}[2x] = 2$$

Цепное правило:

$$f'(x) = -\frac{1}{\sin^2(2x)} \cdot 2 = -\frac{2}{\sin^2(2x)}$$

Шаг 3: Подставляем $x = \frac{\pi}{4}$ в производную

$$f’\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{2}{\sin^2(2 \cdot \frac{\pi}{4})} = -\frac{2}{\sin^2(\frac{\pi}{2})} = -\frac{2}{1^2} = -2$$

Шаг 4: Составляем уравнение касательной

$$y = 0 + (-2)(x — \frac{\pi}{4}) = -2x + \frac{\pi}{2}$$

Ответ: $y = \frac{\pi}{2} — 2x$

в) $f(x) = \sin(2x), \quad a = \frac{\pi}{4}$

Шаг 1: Вычисляем значение функции

$$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$$

Шаг 2: Производная функции $f(x) = \sin(2x)$

Прямая функция, производим по правилу:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}[\sin(2x)] = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)$$

Шаг 3: Подставляем $x = \frac{\pi}{4}$

$$f’\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \cdot 0 = 0$$

Шаг 4: Уравнение касательной

$$y = 1 + 0 \cdot \left(x — \frac{\pi}{4}\right) = 1$$

Ответ: $y = 1$

г) $f(x) = 2\tan\left(\frac{x}{3}\right), \quad a = 0$

Шаг 1: Вычисляем значение функции

$$f(0) = 2 \cdot \tan\left(\frac{0}{3}\right) = 2 \cdot \tan(0) = 2 \cdot 0 = 0$$

Шаг 2: Производная функции

Функция: $f(x) = 2 \cdot \tan(u), \quad u = \frac{x}{3}$

Производная внешней функции $\tan(u)$:

$$\frac{d}{du}[\tan(u)] = \frac{1}{\cos^2(u)}$$

Производная внутренней функции $u = \frac{x}{3}$:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{3}\right) = \frac{1}{3}$$

Цепное правило:

$$f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{\cos^2(u)} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3\cos^2(\frac{x}{3})}$$

Шаг 3: Подставляем $x = 0$

$$f'(0) = \frac{2}{3 \cdot \cos^2(0)} = \frac{2}{3 \cdot 1^2} = \frac{2}{3}$$

Шаг 4: Уравнение касательной

$$y = 0 + \frac{2}{3}(x — 0) = \frac{2}{3}x$$

Ответ: $y = \frac{2}{3}x$