ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.26 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Составьте уравнение касательной к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х = а:

а) $f(x) = \arccos 3x + 2x$ и $a = 0$;

б) $f(x) = 3x^2 — 0,2 \arcsin 5x$ и $a = 0$;

в) $f(x) = 2 \arctg x + 3\sqrt{x}$ и $a = 1$;

г) $f(x) = \frac{1}{x} — 5 \arcctg 2x$ и $a = 1$

Уравнение касательной имеет вид:
$y = f(a) + f'(a)(x — a),$
где $a$ — абсцисса точки касания;

а) $f(x) = \arccos 3x + 2x$ и $a = 0$;

$f(a) = \arccos(3 \cdot 0) + 2 \cdot 0 = \arccos 0 = \frac{\pi}{2}$;

$f'(x) = (\arccos 3x)’ + (2x)’ = -\frac{3}{\sqrt{1 — 9x^2}} + 2$;

$f'(a) = -\frac{3}{\sqrt{1 — 9 \cdot 0^2}} + 2 = -\frac{3}{\sqrt{1}} + 2 = -3 + 2 = -1$;

$y = \frac{\pi}{2} — 1 \cdot (x — 0) = \frac{\pi}{2} — x$;

Ответ: $y = \frac{\pi}{2} — x$.

б) $f(x) = 3x^2 — 0,2 \arcsin 5x$ и $a = 0$;

$f(a) = 3 \cdot 0^2 — 0,2 \arcsin(5 \cdot 0) = -0,2 \arcsin 0 = -0,2 \cdot 0 = 0$;

$f'(x) = (3x^2)’ — 0,2(\arcsin 5x)’$

$f'(x) = 3 \cdot 2x — 0,2 \cdot 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 — x^2}} = 6x — \frac{1}{\sqrt{1 — 25x^2}}$;

$f'(a) = 6 \cdot 0 — \frac{1}{\sqrt{1 — 25 \cdot 0^2}} = -\frac{1}{\sqrt{1}} = -1$;

$y = 0 — 1 \cdot (x — 0) = -x$;

Ответ: $y = -x$.

в) $f(x) = 2 \arctg x + 3\sqrt{x}$ и $a = 1$;

$f(a) = 2 \cdot \arctg 1 + 3\sqrt{1} = 2 \cdot \frac{\pi}{4} + 3 = \frac{\pi}{2} + 3$;

$f'(x) = 2(\arctg x)’ + 3(\sqrt{x})’ = \frac{2}{1 + x^2} + \frac{3}{2\sqrt{x}}$;

$f'(a) = \frac{2}{1 + 1^2} + \frac{3}{2\sqrt{1}} = \frac{2}{2} + \frac{3}{2} = 1 + 1,5 = 2,5$;

$y = \frac{\pi}{2} + 3 + 2,5(x — 1) = \frac{\pi}{2} + 3 + 2,5x — 2,5 = 2,5x + 0,5 + \frac{\pi}{2}$;

Ответ: $y = 2,5x + 0,5 + \frac{\pi}{2}$.

г) $f(x) = \frac{1}{x} — 5 \arcctg 2x$ и $a = 1$;

$f(a) = \frac{1}{1} — 5 \arcctg 2 = 1 — 5 \arcctg 2$;

$f'(x) = \left( \frac{1}{x} \right)’ — 5(\arcctg 2x)’$;

$f'(x) = -\frac{1}{x^2} — 5 \cdot 2 \cdot \left( -\frac{1}{1 + 4x^2} \right) = -\frac{1}{x^2} + \frac{10}{1 + 4x^2}$;

$f'(a) = -\frac{1}{1^2} + \frac{10}{1 + 4 \cdot 1^2} = -1 + \frac{10}{1 + 4} = -1 + \frac{10}{5} = -1 + 2 = 1$;

$y = 1 — 5 \arcctg 2 + (x — 1) = x — 5 \arcctg 2$;

Ответ: $y = x — 5 \arcctg 2$.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $x = a$ имеет вид:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a)$$

где:

• $f(a)$ — значение функции в точке касания;
• $f'(a)$ — производная функции в точке касания;
• $a$ — абсцисса точки касания (задана в каждом пункте задачи).

а)

Дано:

$f(x) = \arccos(3x) + 2x$,
$a = 0$

Шаг 1: Найдём $f(a)$

Подставляем $a = 0$ в функцию:

$$f(0) = \arccos(3 \cdot 0) + 2 \cdot 0 = \arccos(0) + 0 = \frac{\pi}{2}$$

Шаг 2: Найдём $f'(x)$

Производная суммы — это сумма производных:

$$f'(x) = (\arccos(3x))’ + (2x)’$$

Используем правило цепочки:

$$(\arccos(u))’ = -\frac{u’}{\sqrt{1 — u^2}}$$

Здесь $u = 3x$, тогда $u’ = 3$:

$$(\arccos(3x))’ = -\frac{3}{\sqrt{1 — (3x)^2}} = -\frac{3}{\sqrt{1 — 9x^2}}$$

А $(2x)’ = 2$, итого:

$$f'(x) = -\frac{3}{\sqrt{1 — 9x^2}} + 2$$

Шаг 3: Найдём $f'(a)$

Подставляем $x = 0$:

$$f'(0) = -\frac{3}{\sqrt{1 — 9 \cdot 0^2}} + 2 = -\frac{3}{1} + 2 = -3 + 2 = -1$$

Шаг 4: Составим уравнение касательной

Формула:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a)$$

Подставляем:

$$y = \frac{\pi}{2} — 1(x — 0) = \frac{\pi}{2} — x$$

Ответ:

$$\boxed{y = \frac{\pi}{2} — x}$$

б)

Дано:

$f(x) = 3x^2 — 0{,}2 \cdot \arcsin(5x)$,
$a = 0$

Шаг 1: Найдём $f(0)$

$$f(0) = 3 \cdot 0^2 — 0{,}2 \cdot \arcsin(5 \cdot 0) = 0 — 0{,}2 \cdot \arcsin(0) = 0$$

Шаг 2: Найдём $f'(x)$

Производная:

$$f'(x) = (3x^2)’ — 0{,}2 \cdot (\arcsin(5x))’$$

Считаем по частям:

• $(3x^2)’ = 6x$
• Производная $\arcsin(5x)$:
  По цепочке:

  $$(\arcsin(u))’ = \frac{u’}{\sqrt{1 — u^2}}, \quad u = 5x, \ u’ = 5$$ $$(\arcsin(5x))’ = \frac{5}{\sqrt{1 — 25x^2}}$$

Итак:

$$f'(x) = 6x — 0{,}2 \cdot \frac{5}{\sqrt{1 — 25x^2}} = 6x — \frac{1}{\sqrt{1 — 25x^2}}$$

Шаг 3: Найдём $f'(0)$

$$f'(0) = 6 \cdot 0 — \frac{1}{\sqrt{1 — 25 \cdot 0^2}} = -\frac{1}{1} = -1$$

Шаг 4: Уравнение касательной

$$y = f(0) + f'(0)(x — 0) = 0 — x = -x$$

Ответ:

$$\boxed{y = -x}$$

в)

Дано:

$f(x) = 2 \arctg x + 3\sqrt{x}$,
$a = 1$

Шаг 1: Найдём $f(1)$

$$f(1) = 2 \cdot \arctg(1) + 3 \cdot \sqrt{1} = 2 \cdot \frac{\pi}{4} + 3 = \frac{\pi}{2} + 3$$

Шаг 2: Найдём $f'(x)$

По частям:

• $(\arctg x)’ = \frac{1}{1 + x^2} \Rightarrow 2 \cdot (\arctg x)’ = \frac{2}{1 + x^2}$
• $(\sqrt{x})’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} \Rightarrow 3 \cdot (\sqrt{x})’ = \frac{3}{2\sqrt{x}}$

Итак:

$$f'(x) = \frac{2}{1 + x^2} + \frac{3}{2\sqrt{x}}$$

Шаг 3: Найдём $f'(1)$

$$f'(1) = \frac{2}{1 + 1^2} + \frac{3}{2 \cdot \sqrt{1}} = \frac{2}{2} + \frac{3}{2} = 1 + 1{,}5 = 2{,}5$$

Шаг 4: Уравнение касательной

$$y = f(1) + f'(1)(x — 1)$$ $$y = \left( \frac{\pi}{2} + 3 \right) + 2{,}5(x — 1)$$ $$= \frac{\pi}{2} + 3 + 2{,}5x — 2{,}5 = 2{,}5x + 0{,}5 + \frac{\pi}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{y = 2{,}5x + 0{,}5 + \frac{\pi}{2}}$$

г)

Дано:

$f(x) = \frac{1}{x} — 5 \cdot \arcctg(2x)$,
$a = 1$

Шаг 1: Найдём $f(1)$

$$f(1) = \frac{1}{1} — 5 \cdot \arcctg(2) = 1 — 5 \cdot \arcctg(2)$$

Шаг 2: Найдём $f'(x)$

По частям:

• $\left( \frac{1}{x} \right)’ = -\frac{1}{x^2}$
• $(\arcctg(2x))’ = \frac{-2}{1 + (2x)^2} = \frac{-2}{1 + 4x^2}$

Итак:

$$f'(x) = -\frac{1}{x^2} — 5 \cdot \left( \frac{-2}{1 + 4x^2} \right) = -\frac{1}{x^2} + \frac{10}{1 + 4x^2}$$

Шаг 3: Найдём $f'(1)$

$$f'(1) = -\frac{1}{1^2} + \frac{10}{1 + 4 \cdot 1^2} = -1 + \frac{10}{5} = -1 + 2 = 1$$

Шаг 4: Уравнение касательной

$$y = f(1) + f'(1)(x — 1) = (1 — 5 \cdot \arcctg 2) + 1 \cdot (x — 1)$$ $$y = x — 5 \cdot \arcctg 2$$

Ответ:

$$\boxed{y = x — 5 \cdot \arcctg 2}$$