ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.27 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Составьте уравнение касательной к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х = а:

а) $f(x) = \sin^3 2x$ и $a = \frac{\pi}{12}$;

б) $f(x) = \frac{4}{\sqrt{\pi}} \sqrt{\arctg 3x}$ и $a = \frac{1}{3}$;

в) $f(x) = \cos^2 2x$ и $a = \frac{\pi}{8}$;

г) $f(x) = 2 \arcctg (3x^2) + 3 \arctg (2x^3)$ и $a = 0$

Уравнение касательной имеет вид:
$y = f(a) + f'(a)(x — a),$
где $a$ — абсцисса точки касания;

а) $f(x) = \sin^3 2x$ и $a = \frac{\pi}{12}$;

$f(a) = \sin^3 \frac{2\pi}{12} = \sin^3 \frac{\pi}{6} = \left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{1}{8}$;

Пусть $u = \sin 2x$, тогда $f(x) = u^3$;
$f'(x) = (u^3)’ \cdot (\sin 2x)’ = 3u^2 \cdot 2 \cos 2x = 6 \cdot \sin^2 2x \cdot \cos 2x;$
$f'(a) = 6 \cdot \sin^2 \frac{\pi}{6} \cdot \cos \frac{\pi}{6} = 6 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6 \sqrt{3}}{4 \cdot 2} = \frac{3 \sqrt{3}}{4};$

$y = \frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3}}{4} \left( x — \frac{\pi}{12} \right) = \frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3}}{4} x — \frac{3 \pi \sqrt{3}}{48} = \frac{3 \sqrt{3}}{4} x + \frac{1}{8} — \frac{\pi \sqrt{3}}{16};$

Ответ: $y = \frac{3 \sqrt{3}}{4} x + \frac{1}{8} — \frac{\pi \sqrt{3}}{16}$.

б) $f(x) = \frac{4}{\sqrt{\pi}} \sqrt{\arctg 3x}$ и $a = \frac{1}{3}$;

$f(a) = \frac{4}{\sqrt{\pi}} \sqrt{\arctg \left( 3 \cdot \frac{1}{3} \right)} = \frac{4}{\sqrt{\pi}} \sqrt{\arctg 1} = \frac{4}{\sqrt{\pi}} \cdot \sqrt{\frac{\pi}{4}} = \frac{4}{2} = 2;$

Пусть $u = \arctg 3x$, тогда $f(x) = \frac{4}{\sqrt{\pi}} \sqrt{u}$;
$f'(x) = \frac{4}{\sqrt{\pi}} \left( \sqrt{u} \right)’ \cdot (\arctg 3x)’ = \frac{4}{\sqrt{\pi} \cdot 2 \sqrt{u}} \cdot \frac{3}{1 + 9x^2} = \frac{6}{\sqrt{\pi \arctg 3x} \cdot (1 + 9x^2)};$
$f'(a) = \frac{6}{\sqrt{\pi \arctg 1} \cdot \left( 1 + 9 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^2 \right)} = \frac{6}{\sqrt{\pi \cdot \frac{\pi}{4}} \cdot (1 + 1)} = \frac{6}{\frac{\pi}{2} \cdot 2} = \frac{6}{\pi};$

$y = 2 + \frac{6}{\pi} \left( x — \frac{1}{3} \right) = 2 + \frac{6}{\pi} x — \frac{6}{3 \pi} = \frac{6}{\pi} x + 2 — \frac{2}{\pi};$

Ответ: $y = \frac{6}{\pi} x + 2 — \frac{2}{\pi}$.

в) $f(x) = \cos^2 2x$ и $a = \frac{\pi}{8}$;

$f(a) = \cos^2 \frac{2\pi}{8} = \cos^2 \frac{\pi}{4} = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2};$

Пусть $u = \cos 2x$, тогда $f(x) = u^2$;
$f'(x) = (u^2)’ \cdot (\cos 2x)’ = 2u \cdot (-2 \sin 2x) = -2 \cdot 2 \cos 2x \sin 2x = -2 \sin 4x;$
$f'(a) = -2 \cdot \sin \frac{4\pi}{8} = -2 \cdot \sin \frac{\pi}{2} = -2 \cdot 1 = -2;$

$y = \frac{1}{2} — 2 \left( x — \frac{\pi}{8} \right) = \frac{1}{2} — 2x + \frac{2\pi}{8} = -2x + \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4};$

Ответ: $y = -2x + \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}$.

г) $f(x) = 2 \arcctg (3x^2) + 3 \arctg (2x^3)$ и $a = 0$;

$f(a) = 2 \cdot \arcctg 0 + 3 \cdot \arctg 0 = \frac{2\pi}{2} + 3 \cdot 0 = \pi;$

Пусть $u = 3x^2$ и $z = 2 \arcctg u$, тогда:
$z’_x = 2 (\arcctg u)’ \cdot 3 (x^2)’ = -\frac{2}{1 + u^2} \cdot 3 \cdot 2x = -\frac{12x}{1 + 9x^4};$

Пусть $n = 2x^3$ и $t = 3 \arctg n$, тогда:
$t’_x = 3 (\arctg n)’ \cdot 2 (x^3)’ = \frac{3}{1 + n^2} \cdot 2 \cdot 3x^2 = \frac{18x^2}{1 + 4x^6};$

$f(x) = z + t$, значит:
$f'(x) = z’_x + t’_x = \frac{18x^2}{1 + 4x^6} — \frac{12x}{1 + 9x^4};$
$f'(a) = \frac{18 \cdot 0^2}{1 + 4 \cdot 0^6} — \frac{12 \cdot 0}{1 + 9 \cdot 0^4} = \frac{0}{1} — \frac{0}{1} = 0;$

$y = \pi — 0 (x = 0) = \pi;$

Ответ: $y = \pi$.

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x = a$ имеет вид:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a),$$

где:

• $f(a)$ — значение функции в точке касания;
• $f'(a)$ — значение производной (угловой коэффициент касательной);
• $a$ — абсцисса точки касания.

а) $f(x) = \sin^3 2x$, $a = \frac{\pi}{12}$

Шаг 1: Найдём значение функции в точке $a$

Подставим $a = \frac{\pi}{12}$:

$$f\left(\frac{\pi}{12}\right) = \sin^3 \left(2 \cdot \frac{\pi}{12}\right) = \sin^3 \left(\frac{\pi}{6}\right)$$ $$\sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \Rightarrow \left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{1}{8}$$

→ $f(a) = \frac{1}{8}$

Шаг 2: Найдём производную $f'(x)$

Пусть $u = \sin 2x$, тогда:

$$f(x) = u^3 = \left( \sin 2x \right)^3$$

Применим правило цепочки:

$$f'(x) = \frac{d}{dx} (u^3) = 3u^2 \cdot u’$$

Найдём $u’ = \frac{d}{dx} (\sin 2x) = 2 \cos 2x$:

$$f'(x) = 3 (\sin 2x)^2 \cdot 2 \cos 2x = 6 \sin^2 2x \cdot \cos 2x$$

Теперь найдём значение в точке:

$$f’\left( \frac{\pi}{12} \right) = 6 \cdot \sin^2 \left( \frac{\pi}{6} \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{6} \right)$$ $$\sin \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin^2 = \frac{1}{4} \quad \cos \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$f'(a) = 6 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6 \sqrt{3}}{8} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$$

Шаг 3: Подставим всё в уравнение касательной

$$y = f(a) + f'(a)(x — a) = \frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3}}{4} \left( x — \frac{\pi}{12} \right)$$

Раскроем скобки:

$$= \frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3}}{4} x — \frac{3 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{\pi}{12} = \frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3}}{4} x — \frac{3 \pi \sqrt{3}}{48}$$ $$\frac{3 \pi \sqrt{3}}{48} = \frac{\pi \sqrt{3}}{16} \Rightarrow y = \frac{3 \sqrt{3}}{4} x + \frac{1}{8} — \frac{\pi \sqrt{3}}{16}$$

Ответ:

$$y = \frac{3 \sqrt{3}}{4} x + \frac{1}{8} — \frac{\pi \sqrt{3}}{16}$$

б) $f(x) = \dfrac{4}{\sqrt{\pi}} \sqrt{\arctg 3x}, \quad a = \frac{1}{3}$

Шаг 1: Значение функции в точке $a$

$$f(a) = \frac{4}{\sqrt{\pi}} \cdot \sqrt{ \arctg (3 \cdot \frac{1}{3}) } = \frac{4}{\sqrt{\pi}} \cdot \sqrt{ \arctg 1 }$$ $$\arctg 1 = \frac{\pi}{4} \Rightarrow \sqrt{ \frac{\pi}{4} } = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \Rightarrow f(a) = \frac{4}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2} = 2$$

Шаг 2: Производная

Пусть $u = \arctg 3x$, тогда:

$$f(x) = \frac{4}{\sqrt{\pi}} \cdot \sqrt{u} \Rightarrow f'(x) = \frac{4}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{u}} \cdot u’$$ $$u = \arctg 3x \Rightarrow u’ = \frac{3}{1 + (3x)^2} = \frac{3}{1 + 9x^2}$$ $$f'(x) = \frac{4}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{ \arctg 3x }} \cdot \frac{3}{1 + 9x^2} = \frac{6}{ \sqrt{\pi \cdot \arctg 3x} \cdot (1 + 9x^2) }$$

Теперь найдём значение при $x = \frac{1}{3}$:

$$\arctg (3 \cdot \frac{1}{3}) = \arctg 1 = \frac{\pi}{4}, \quad 1 + 9x^2 = 1 + 1 = 2$$ $$\sqrt{ \pi \cdot \frac{\pi}{4} } = \sqrt{ \frac{\pi^2}{4} } = \frac{\pi}{2} \Rightarrow f'(a) = \frac{6}{\frac{\pi}{2} \cdot 2} = \frac{6}{\pi}$$

Шаг 3: Уравнение касательной

$$y = f(a) + f'(a)(x — a) = 2 + \frac{6}{\pi} \left( x — \frac{1}{3} \right)$$

Раскрываем скобки:

$$y = 2 + \frac{6}{\pi} x — \frac{6}{3\pi} = \frac{6}{\pi} x + 2 — \frac{2}{\pi}$$

Ответ:

$$y = \frac{6}{\pi} x + 2 — \frac{2}{\pi}$$

в) $f(x) = \cos^2 2x, \quad a = \frac{\pi}{8}$

Шаг 1: Значение функции в точке $a$

$$f(a) = \cos^2 \left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) = \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} \right) = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = \frac{1}{2}$$

Шаг 2: Производная

Пусть $u = \cos 2x$, тогда:

$$f(x) = u^2 \Rightarrow f'(x) = 2u \cdot u’$$ $$u = \cos 2x \Rightarrow u’ = -2 \sin 2x \Rightarrow f'(x) = 2 \cos 2x \cdot (-2 \sin 2x) = -4 \cos 2x \sin 2x$$

Применим формулу: $2 \cos \theta \sin \theta = \sin 2\theta$, значит:

$$f'(x) = -2 \cdot \sin 4x$$

Теперь подставим $x = \frac{\pi}{8}$:

$$f'(a) = -2 \cdot \sin \left(4 \cdot \frac{\pi}{8} \right) = -2 \cdot \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) = -2 \cdot 1 = -2$$

Шаг 3: Уравнение касательной

$$y = \frac{1}{2} + (-2)(x — \frac{\pi}{8}) = \frac{1}{2} — 2x + \frac{2\pi}{8} = -2x + \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}$$

Ответ:

$$y = -2x + \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}$$

г) $f(x) = 2 \arcctg (3x^2) + 3 \arctg (2x^3), \quad a = 0$

Шаг 1: Значение функции

$$f(0) = 2 \cdot \arcctg (0) + 3 \cdot \arctg(0)$$ $$\arcctg(0) = \frac{\pi}{2}, \quad \arctg(0) = 0 \Rightarrow f(0) = 2 \cdot \frac{\pi}{2} + 0 = \pi$$

Шаг 2: Производная

Первая часть:

$$z(x)=2\mathrm{arcctg}(3x^2)\Rightarrow z^{\mathrm{\prime }}=2\cdot {(\mathrm{arcctg}(3x^2))}^{\mathrm{\prime }}=-2\cdot \frac{(3x^2{)}^{\mathrm{\prime }}}{1+(3x^2{)}^2}=$$

$$z(x) = 2 \arcctg (3x^2) \Rightarrow z’ = 2 \cdot \left( \arcctg (3x^2) \right)’ = -2 \cdot \frac{(3x^2)’}{1 + (3x^2)^2} = -2 \cdot \frac{6x}{1 + 9x^4} = -\frac{12x}{1 + 9x^4}$$

Вторая часть:

$$t(x) = 3 \arctg (2x^3) \Rightarrow t’ = 3 \cdot \frac{(2x^3)’}{1 + (2x^3)^2} = 3 \cdot \frac{6x^2}{1 + 4x^6} = \frac{18x^2}{1 + 4x^6}$$

Общая производная:

$$f'(x) = z'(x) + t'(x) = \frac{18x^2}{1 + 4x^6} — \frac{12x}{1 + 9x^4}$$

При $x = 0$:

$$f'(0) = \frac{0}{1} — \frac{0}{1} = 0$$

Шаг 3: Уравнение касательной

$$y = \pi + 0(x — 0) = \pi$$

Ответ:

$$y = \pi$$