ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.29 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Напишите уравнения касательных к графику функции y = f(x) в точках его пересечения с осью абсцисс, если:

а) $f(x) = 9 — x^2$;

б) $f(x) = x^3 — 27$;

в) $f(x) = x^3 — 4x$;

г) $f(x) = x^3 — x^4$

Уравнение касательной имеет вид:
$y = f(a) + f'(a)(x — a),$
где $a$ — абсцисса точки касания;

а) $f(x) = 9 — x^2$;

$f'(x) = (9′) — (x^2)’ = 0 — 2x = -2x$;

Абсцисса точки пересечения оси $x$:
$f(a) = 9 — x^2 = 0;$
$x^2 = 9, \text{ отсюда } x = \pm 3;$
$a_1 = -3 \text{ и } a_2 = 3;$

Уравнение первой касательной:
$f'(a_1) = -2 \cdot (-3) = 6;$
$y = 0 + 6(x + 3) = 6x + 18;$

Уравнение второй касательной:
$f'(a_2) = -2 \cdot 3 = -6;$
$y = 0 — 6(x — 3) = -6x + 18;$

Ответ: $y = 6x + 18; \, y = -6x + 18$.

б) $f(x) = x^3 — 27$;

$f'(x) = (x^3)’ — (27)’ = 3x^2 — 0 = 3x^2;$

Абсцисса точки пересечения оси $x$:
$f(a) = x^3 — 27 = 0;$
$x^3 = 27, \text{ отсюда } a = x = 3;$

Уравнение касательной:
$f'(a) = 3 \cdot 3^2 = 3^3 = 27;$
$y = 0 + 27(x — 3) = 27x — 81;$

Ответ: $y = 27x — 81$.

в) $f(x) = x^3 — 4x$;

$f'(x) = (x^3)’ — (4x)’ = 3x^2 — 4;$

Абсцисса точки пересечения оси $x$:
$f(a) = x^3 — 4x = 0;$
$x(x^2 — 4) = 0;$
$x(x — 2)(x + 2) = 0;$
$x = 0 \text{ или } x = 2 \text{ или } x = -2;$
$a_1 = -2, \, a_2 = 0 \text{ и } a_3 = 2;$

Уравнение первой касательной:
$f'(a_1) = 3 \cdot (-2)^2 — 4 = 3 \cdot 4 — 4 = 12 — 4 = 8;$
$y = 0 + 8(x + 2) = 8x + 16;$

Уравнение второй касательной:
$f'(a_2) = 3 \cdot 0^2 — 4 = -4;$
$y = 0 — 4(x — 0) = -4x;$

Уравнение третьей касательной:
$f'(a_3) = 3 \cdot 2^2 — 4 = 3 \cdot 4 — 4 = 12 — 4 = 8;$
$y = 0 + 8(x — 2) = 8x — 16;$

Ответ: $y = 8x + 16; \, y = -4x; \, y = 8x — 16$.

г) $f(x) = x^3 — x^4$;

$f'(x) = (x^3)’ — (x^4)’ = 3x^2 — 4x^3;$

Абсцисса точки пересечения оси $x$:
$f(a) = x^3 — x^4 = 0;$
$x^2(1 — x) = 0;$
$x = 0 \text{ или } x = 1;$
$a_1 = 0 \text{ и } a_2 = 1;$

Уравнение первой касательной:
$f'(a_1) = 3 \cdot 0^2 — 4 \cdot 0^3 = 0;$
$y = 0 — 0(x — 0) = 0;$

Уравнение второй касательной:
$f'(a_2) = 3 \cdot 1^2 — 4 \cdot 1^3 = 3 — 4 = -1;$
$y = 0 — 1(x — 1) = 1 — x;$

Ответ: $y = 0; \, y = 1 — x$.

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $a$ имеет вид:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a),$$

где:

$a$ — абсцисса точки касания,

$f(a)$ — значение функции в этой точке,

$f'(a)$ — производная функции в точке $a$, т.е. угловой коэффициент касательной.

а) $f(x) = 9 — x^2$

Шаг 1. Найдём производную функции:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(9 — x^2) = \frac{d}{dx}(9) — \frac{d}{dx}(x^2)$$ $$f'(x) = 0 — 2x = -2x$$

Шаг 2. Найдём точки пересечения графика с осью $x$ (т.е. где $f(x) = 0$)

$$f(x) = 9 — x^2 = 0$$ $$x^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 3$$

Таким образом, $a_1 = -3$, $a_2 = 3$.

Шаг 3. Касательная в точке $a_1 = -3$:

Вычислим $f(a_1)$:

$$f(-3) = 9 — (-3)^2 = 9 — 9 = 0$$

Вычислим производную в этой точке:

$$f'(-3) = -2 \cdot (-3) = 6$$

Подставим в формулу касательной:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a) = 0 + 6(x — (-3)) = 6(x + 3)$$ $$\boxed{y = 6x + 18}$$

Шаг 4. Касательная в точке $a_2 = 3$:

$f(3) = 9 — 3^2 = 0$

$f'(3) = -2 \cdot 3 = -6$

Уравнение касательной:

$$y = 0 + (-6)(x — 3) = -6(x — 3) = -6x + 18$$ $$\boxed{y = -6x + 18}$$

Ответ:

$$\boxed{y = 6x + 18; \quad y = -6x + 18}$$

б) $f(x) = x^3 — 27$

Шаг 1. Найдём производную:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 — 27) = \frac{d}{dx}(x^3) — \frac{d}{dx}(27)$$ $$f'(x) = 3x^2 — 0 = 3x^2$$

Шаг 2. Найдём точку пересечения с осью $x$:

$$x^3 — 27 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^3 = 27 \quad \Rightarrow \quad x = 3$$

Значит, $a = 3$

Шаг 3. Касательная в точке $a = 3$:

$f(3) = 3^3 — 27 = 27 — 27 = 0$

$f'(3) = 3 \cdot 3^2 = 3 \cdot 9 = 27$

Подставим:

$$y = 0 + 27(x — 3) = 27x — 81$$ $$\boxed{y = 27x — 81}$$

в) $f(x) = x^3 — 4x$

Шаг 1. Производная:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) — \frac{d}{dx}(4x) = 3x^2 — 4$$

Шаг 2. Решим $f(x) = 0$:

$$x^3 — 4x = 0 \quad \Rightarrow \quad x(x^2 — 4) = 0$$ $$x(x — 2)(x + 2) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0, \, 2, \, -2$$

То есть: $a_1 = -2$, $a_2 = 0$, $a_3 = 2$

Касательная в точке $a_1 = -2$:

$f(-2) = (-2)^3 — 4 \cdot (-2) = -8 + 8 = 0$

$f'(-2) = 3 \cdot 4 — 4 = 12 — 4 = 8$

Уравнение:

$$y = 0 + 8(x + 2) = 8x + 16$$ $$\boxed{y = 8x + 16}$$

Касательная в точке $a_2 = 0$:

$f(0) = 0 — 0 = 0$

$f'(0) = 3 \cdot 0^2 — 4 = -4$

Уравнение:

$$y = 0 — 4(x — 0) = -4x$$ $$\boxed{y = -4x}$$

Касательная в точке $a_3 = 2$:

$f(2) = 8 — 8 = 0$

$f'(2) = 3 \cdot 4 — 4 = 12 — 4 = 8$

Уравнение:

$$y = 0 + 8(x — 2) = 8x — 16$$ $$\boxed{y = 8x — 16}$$

Ответ:

$$\boxed{y = 8x + 16; \quad y = -4x; \quad y = 8x — 16}$$

г) $f(x) = x^3 — x^4$

Шаг 1. Производная:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) — \frac{d}{dx}(x^4) = 3x^2 — 4x^3$$

Шаг 2. Решим $f(x) = 0$:

$$x^3 — x^4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^3(1 — x) = 0$$ $$x^2(1 — x) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \text{ или } x = 1$$

Значит, $a_1 = 0$, $a_2 = 1$

Касательная в точке $a_1 = 0$:

$f(0) = 0 — 0 = 0$

$f'(0) = 3 \cdot 0^2 — 4 \cdot 0^3 = 0$

Уравнение:

$$y = 0 + 0(x — 0) = 0$$ $$\boxed{y = 0}$$

Касательная в точке $a_2 = 1$:

$f(1) = 1 — 1 = 0$

$f'(1) = 3 \cdot 1^2 — 4 \cdot 1^3 = 3 — 4 = -1$

Уравнение:

$$y = 0 — 1(x — 1) = -x + 1$$ $$\boxed{y = 1 — x}$$

Ответ:

$$\boxed{y = 0; \quad y = 1 — x}$$