ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.3 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $f(x) = x^3 — 2x^2 + 3$ и $a = -1$;

$f'(x) = (x^3)’ — 2(x^2)’ + (3)’$;

$f'(x) = 3x^2 — 2 \cdot 2x + 0 = 3x^2 — 4x$;

$f'(a) = 3(-1)^2 — 4 \cdot (-1) = 3 + 4 = 7$;

Ответ: $k = 7$.

б) $f(x) = \frac{x-1}{x+3}$ и $a = 1$;

$f'(x) = \frac{(x-1)'(x+3) — (x-1)(x+3)’}{(x+3)^2}$;

$f'(x) = \frac{(x+3) — (x-1)}{(x+3)^2} = \frac{x+3-x+1}{(x+3)^2} = \frac{4}{(x+3)^2}$;

$f'(a) = \frac{4}{(1+3)^2} = \frac{4}{4^2} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$;

Ответ: $k = \frac{1}{4}$.

в) $f(x) = x^4 — 7x^3 + 12x — 45$ и $a = 0$;

$f'(x) = (x^4)’ — 7(x^3)’ + (12x — 45)’$;

$f'(x) = 4x^3 — 7 \cdot 3x^2 + 12 = 4x^3 — 21x^2 + 12$;

$f'(a) = 4 \cdot 0^3 — 21 \cdot 0^2 + 12 = 12$;

Ответ: $k = 12$.

г) $f(x) = \frac{2x-1}{x+1}$ и $a = 1$;

$f'(x) = \frac{(2x-1)'(x+1) — (2x-1)(x+1)’}{(x+1)^2}$;

$f'(x) = \frac{2(x+1) — (2x-1)}{(x+1)^2} = \frac{2x+2-2x+1}{(x+1)^2} = \frac{3}{(x+1)^2}$;

$f'(a) = \frac{3}{(1+1)^2} = \frac{3}{2^2} = \frac{3}{4}$;

Ответ: $k = \frac{3}{4}$.

Производная функции в точке $x = a$ представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке. Процесс нахождения производной состоит в применении основных правил дифференцирования для каждой компоненты функции.

Правило дифференцирования для степенных функций: если $f(x) = x^n$, то производная будет:

$$f'(x) = n \cdot x^{n-1}.$$

Правило дифференцирования для сложных функций (цепное правило): если $f(x) = g(h(x))$, то производная $f'(x)$ равна:

$$f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x).$$

Правило дифференцирования для дробных функций (например, $f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$):

$$f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) — g(x) \cdot h'(x)}{[h(x)]^2}.$$

Теперь применим эти правила к каждому из примеров, представленных в задаче.

а) $f(x) = x^3 — 2x^2 + 3$ и $a = -1$:

Нахождение производной функции:

Применим правило дифференцирования для каждого слагаемого:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) — 2 \cdot \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(3).$$

• Производная от $x^3$ по $x$ будет $3x^2$.
• Производная от $x^2$ по $x$ будет $2x$, а затем умножаем на -2: $-2 \cdot 2x = -4x$.
• Производная от постоянной $3$ равна 0.

Таким образом:

$$f'(x) = 3x^2 — 4x.$$

Вычисление производной в точке $a = -1$:

Подставим $x = -1$ в выражение для производной:

$$f'(-1) = 3(-1)^2 — 4(-1) = 3(1) + 4 = 3 + 4 = 7.$$

Ответ: $k = 7$.

б) $f(x) = \frac{x-1}{x+3}$ и $a = 1$:

Нахождение производной функции:

Для функции вида $f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$, применим правило дифференцирования дроби:

$$f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) — g(x) \cdot h'(x)}{[h(x)]^2},$$

где $g(x) = x — 1$ и $h(x) = x + 3$.

• Производная от $g(x) = x — 1$ по $x$ будет $g'(x) = 1$.
• Производная от $h(x) = x + 3$ по $x$ будет $h'(x) = 1$.

Подставляем эти значения в формулу для производной:

$$f'(x) = \frac{(1)(x+3) — (x-1)(1)}{(x+3)^2}.$$

Упростим числитель:

$$f'(x) = \frac{x + 3 — (x — 1)}{(x+3)^2} = \frac{x + 3 — x + 1}{(x+3)^2} = \frac{4}{(x+3)^2}.$$

Вычисление производной в точке $a = 1$:

Подставим $x = 1$ в выражение для производной:

$$f'(1) = \frac{4}{(1 + 3)^2} = \frac{4}{4^2} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}.$$

Ответ: $k = \frac{1}{4}$.

в) $f(x) = x^4 — 7x^3 + 12x — 45$ и $a = 0$:

Нахождение производной функции:

Применим правило дифференцирования для каждого слагаемого:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4) — 7 \cdot \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(12x) — \frac{d}{dx}(45).$$

• Производная от $x^4$ по $x$ будет $4x^3$.
• Производная от $x^3$ по $x$ будет $3x^2$, а затем умножаем на -7: $-7 \cdot 3x^2 = -21x^2$.
• Производная от $12x$ по $x$ будет $12$.
• Производная от постоянной $-45$ равна 0.

Таким образом:

$$f'(x) = 4x^3 — 21x^2 + 12.$$

Вычисление производной в точке $a = 0$:

Подставим $x = 0$ в выражение для производной:

$$f'(0) = 4(0)^3 — 21(0)^2 + 12 = 12.$$

Ответ: $k = 12$.

г) $f(x) = \frac{2x-1}{x+1}$ и $a = 1$:

Нахождение производной функции:

Для функции вида $f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$, применим правило дифференцирования дроби:

$$f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) — g(x) \cdot h'(x)}{[h(x)]^2},$$

где $g(x) = 2x — 1$ и $h(x) = x + 1$.

• Производная от $g(x) = 2x — 1$ по $x$ будет $g'(x) = 2$.
• Производная от $h(x) = x + 1$ по $x$ будет $h'(x) = 1$.

Подставляем эти значения в формулу для производной:

$$f'(x) = \frac{(2)(x+1) — (2x-1)(1)}{(x+1)^2}.$$

Упростим числитель:

$$f'(x) = \frac{2x + 2 — (2x — 1)}{(x+1)^2} = \frac{2x + 2 — 2x + 1}{(x+1)^2} = \frac{3}{(x+1)^2}.$$

Вычисление производной в точке $a = 1$:

Подставим $x = 1$ в выражение для производной:

$$f'(1) = \frac{3}{(1 + 1)^2} = \frac{3}{2^2} = \frac{3}{4}.$$

Ответ: $k = \frac{3}{4}$.