ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.30 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Напишите уравнения касательных к параболе:

a) у = х² — Зх в точках с ординатой 4;

б) у = -х² + 5х в точках с ординатой 6.

Уравнение касательной имеет вид:
$y = f(a) + f'(a)(x — a),$
где $a$ — абсцисса точки касания;

а) $y = x^2 — 3x$;

$y’ = (x^2)’ — (3x)’ = 2x — 3$;

Абсцисса точки с ординатой 4:
$y(a) = x^2 — 3x = 4;$
$x^2 — 3x — 4 = 0;$
$D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25, \text{ тогда:}$
$x_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4;$
$a_1 = -1 \quad \text{и} \quad a_2 = 4;$

Уравнение первой касательной:
$y'(a_1) = 2 \cdot (-1) — 3 = -2 — 3 = -5;$
$y = 4 — 5(x + 1) = 4 — 5x — 5 = -5x — 1;$

Уравнение второй касательной:
$y'(a_2) = 2 \cdot 4 — 3 = 8 — 3 = 5;$
$y = 4 + 5(x — 4) = 4 + 5x — 20 = 5x — 16;$

Ответ: $y = -5x — 1; \, y = 5x — 16.$

б) $y = -x^2 + 5x$;

$y’ = -(x^2)’ + (5x)’ = -2x + 5$;

Абсцисса точки с ординатой 6:
$y(a) = -x^2 + 5x = 6;$
$x^2 — 5x + 6 = 0;$
$D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1, \text{ тогда:}$
$x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3;$
$a_1 = 2 \quad \text{и} \quad a_2 = 3;$

Уравнение первой касательной:
$y'(a_1) = -2 \cdot 2 + 5 = -4 + 5 = 1;$
$y = 6 + 1(x — 2) = 6 + x — 2 = x + 4;$

Уравнение второй касательной:
$y'(a_2) = -2 \cdot 3 + 5 = -6 + 5 = -1;$
$y = 6 — 1 \cdot (x — 3) = 6 — x + 3 = 9 — x;$

Ответ: $y = x + 4; \, y = 9 — x.$

Формула касательной к графику функции в точке $a$:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a),$$

где:

• $f(a)$ — значение функции в точке касания;
• $f'(a)$ — значение производной (угловой коэффициент касательной) в точке касания;
• $a$ — абсцисса точки касания (координата $x$).

а) $y = x^2 — 3x$

Шаг 1: Найдём производную функции $y = x^2 — 3x$

По правилам дифференцирования:

• $(x^2)’ = 2x$,
• $(3x)’ = 3$.

Значит:

$$y’ = (x^2 — 3x)’ = 2x — 3.$$

Шаг 2: Найдём точки, в которых значение функции равно 4

Пусть $y = 4$. Подставим в уравнение функции:

$$x^2 — 3x = 4.$$

Приведём всё к стандартному квадратному уравнению:

$$x^2 — 3x — 4 = 0.$$

Решим это уравнение по дискриминанту $D$:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25.$$

Теперь найдём корни:

$$x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 5}{2}.$$

Получаем:

• $x_1 = \frac{3 — 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$,
• $x_2 = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

То есть точки касания имеют абсциссы:

$$a_1 = -1, \quad a_2 = 4.$$

Шаг 3: Найдём уравнение касательной в точке $a_1 = -1$

1. Найдём значение производной в этой точке:

$$f'(a_1) = y'(-1) = 2 \cdot (-1) — 3 = -2 — 3 = -5.$$

2. Найдём значение функции в этой точке:

$$f(-1) = (-1)^2 — 3 \cdot (-1) = 1 + 3 = 4.$$

3. Подставим в формулу касательной:

$$y = f(-1) + f'(-1)(x + 1) = 4 + (-5)(x + 1).$$

Раскроем скобки:

$$y = 4 — 5x — 5 = -5x — 1.$$

Шаг 4: Найдём уравнение касательной в точке $a_2 = 4$

1. Найдём значение производной:

$$f'(a_2) = y'(4) = 2 \cdot 4 — 3 = 8 — 3 = 5.$$

2. Значение функции в точке:

$$f(4) = 4^2 — 3 \cdot 4 = 16 — 12 = 4.$$

3. Подставим в формулу касательной:

$$y = f(4) + f'(4)(x — 4) = 4 + 5(x — 4).$$

Раскроем скобки:

$$y = 4 + 5x — 20 = 5x — 16.$$

Ответ (а):

$$\boxed{y = -5x — 1; \quad y = 5x — 16}$$

б) $y = -x^2 + 5x$

Шаг 1: Найдём производную

$$y’ = (-x^2)’ + (5x)’ = -2x + 5.$$

Шаг 2: Найдём точки, в которых $y = 6$

$$-y^2 + 5x = 6 \quad \Rightarrow \quad -x^2 + 5x = 6.$$

Приведём к стандартному виду:

$$x^2 — 5x + 6 = 0.$$

Вычислим дискриминант:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1.$$

Решим уравнение:

$$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}.$$

Получаем:

• $x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2$,
• $x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$.

То есть:

$$a_1 = 2, \quad a_2 = 3.$$

Шаг 3: Касательная в точке $a_1 = 2$

1. Производная:

$$f'(2) = -2 \cdot 2 + 5 = -4 + 5 = 1.$$

2. Значение функции:

$$f(2) = -(2)^2 + 5 \cdot 2 = -4 + 10 = 6.$$

3. Уравнение касательной:

$$y = f(2) + f'(2)(x — 2) = 6 + 1(x — 2).$$

Раскрываем:

$$y = 6 + x — 2 = x + 4.$$

Шаг 4: Касательная в точке $a_2 = 3$

1. Производная:

$$f'(3) = -2 \cdot 3 + 5 = -6 + 5 = -1.$$

2. Значение функции:

$$f(3) = -(3)^2 + 5 \cdot 3 = -9 + 15 = 6.$$

3. Уравнение касательной:

$$y = f(3) + f'(3)(x — 3) = 6 — 1(x — 3).$$

Раскроем:

$$y = 6 — x + 3 = 9 — x.$$

Ответ (б):

$$\boxed{y = x + 4; \quad y = 9 — x}$$