ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.32 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Напишите уравнения тех касательных к графику функции $y=\frac{x^3}{3}-2$, которые параллельны заданной прямой:

a) у = х — 3;

б) у = 9х — 5.

Уравнение касательной имеет вид:
$y = f(a) + f'(a)(x — a),$
где $a$ — абсцисса точки касания;

Прямые параллельны, когда равны их угловые коэффициенты;

Дана функция: $y = \frac{x^3}{3} — 2$;

$k = y'(x) = \frac{1}{3}(x^3)’ — (2)’ = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 — 0 = x^2$;

а) $y = x — 3$, то есть $k = 1$;

$x^2 = 1$, отсюда $x = \pm 1$;

$a_1 = -1$ и $a_2 = 1$;

Уравнение первой касательной:

$$y(a_1) = \frac{(-1)^3}{3} — 2 = -\frac{1}{3} — \frac{6}{3} = -\frac{7}{3};$$ $$y'(a_1) = (-1)^2 = 1;$$ $$y = -\frac{7}{3} + 1(x + 1) = -\frac{7}{3} + x + \frac{3}{3} = x — \frac{4}{3};$$

Уравнение второй касательной:

$$y(a_2) = \frac{1^3}{3} — 2 = \frac{1}{3} — \frac{6}{3} = -\frac{5}{3};$$ $$y'(a_2) = 1^2 = 1;$$ $$y = -\frac{5}{3} + 1(x — 1) = -\frac{5}{3} + x — \frac{3}{3} = x — \frac{8}{3};$$

Ответ: $y = x — \frac{4}{3};$ $y = x — \frac{8}{3}$.

б) $y = 9x — 5$, то есть $k = 9$;

$x^2 = 9$, отсюда $x = \pm 3$;

$a_1 = -3$ и $a_2 = 3$;

Уравнение первой касательной:

$$y(a_1) = \frac{(-3)^3}{3} — 2 = -\frac{27}{3} — \frac{6}{3} = -\frac{33}{3} = -11;$$ $$y'(a_1) = (-3)^2 = 9;$$ $$y = -11 + 9(x + 3) = -11 + 9x + 27 = 9x + 16;$$

Уравнение второй касательной:

$$y(a_2) = \frac{3^3}{3} — 2 = \frac{27}{3} — \frac{6}{3} = \frac{21}{3} = 7;$$ $$y'(a_2) = 3^2 = 9;$$ $$y = 7 + 9(x — 3) = 7 + 9x — 27 = 9x — 20;$$

Ответ: $y = 9x + 16;$ $y = 9x — 20$.

Функция:

$$y = \frac{x^3}{3} — 2$$

Необходимо найти уравнения касательных, параллельных заданным прямым.

Касательная к графику функции в точке $x = a$ имеет стандартное уравнение касательной:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a)$$

где:

• $f(a)$ — значение функции в точке $a$,
• $f'(a)$ — значение производной (угловой коэффициент касательной),
• $a$ — абсцисса точки касания.

Также напомним, что:

Прямые параллельны, если у них одинаковые угловые коэффициенты (то есть равные значения производных в точках касания).

а) Дана прямая $y = x — 3$

Шаг 1. Найдём угловой коэффициент этой прямой:
Стандартный вид прямой: $y = kx + b$,
Значит, здесь $k = 1$.

Шаг 2. Найдём точки на графике функции, в которых производная равна $k = 1$.

Найдём производную функции:

$$f(x) = \frac{x^3}{3} — 2 \Rightarrow f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^3}{3} \right) — \frac{d}{dx}(2) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 — 0 = x^2$$

Итак:

$$f'(x) = x^2$$

Приравниваем к 1:

$$x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$$

Таким образом, точки касания имеют абсциссы $a_1 = -1$, $a_2 = 1$

Для $a_1 = -1$:

1. Найдём значение функции в этой точке:

$$f(-1) = \frac{(-1)^3}{3} — 2 = -\frac{1}{3} — \frac{6}{3} = -\frac{7}{3}$$

2. Значение производной:

$$f'(-1) = (-1)^2 = 1$$

3. Подставим в уравнение касательной:

$$y = f(-1) + f'(-1)(x + 1) = -\frac{7}{3} + 1(x + 1)$$ $$= -\frac{7}{3} + x + 1 = x — \frac{7}{3} + \frac{3}{3} = x — \frac{4}{3}$$

Для $a_2 = 1$:

1. Найдём значение функции в этой точке:

$$f(1) = \frac{1^3}{3} — 2 = \frac{1}{3} — \frac{6}{3} = -\frac{5}{3}$$

2. Значение производной:

$$f'(1) = 1^2 = 1$$

3. Уравнение касательной:

$$y = f(1) + f'(1)(x — 1) = -\frac{5}{3} + 1(x — 1)$$ $$= -\frac{5}{3} + x — 1 = x — \frac{5}{3} — \frac{3}{3} = x — \frac{8}{3}$$

Ответ к пункту а):

$$\boxed{y = x — \frac{4}{3}; \quad y = x — \frac{8}{3}}$$

б) Дана прямая $y = 9x — 5$

Шаг 1. Найдём угловой коэффициент:

$$k = 9$$

Шаг 2. Приравниваем производную функции к 9:

$$f'(x) = x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$$

Значит, $a_1 = -3$, $a_2 = 3$

Для $a_1 = -3$:

1. Найдём значение функции:

$$f(-3) = \frac{(-3)^3}{3} — 2 = \frac{-27}{3} — 2 = -9 — 2 = -11$$

2. Найдём значение производной:

$$f'(-3) = (-3)^2 = 9$$

3. Уравнение касательной:

$$y = f(-3) + f'(-3)(x + 3) = -11 + 9(x + 3)$$ $$= -11 + 9x + 27 = 9x + 16$$

Для $a_2 = 3$:

1. Значение функции:

$$f(3) = \frac{3^3}{3} — 2 = \frac{27}{3} — 2 = 9 — 2 = 7$$

2. Значение производной:

$$f'(3) = 3^2 = 9$$

3. Уравнение касательной:

$$y = f(3) + f'(3)(x — 3) = 7 + 9(x — 3)$$ $$= 7 + 9x — 27 = 9x — 20$$

Ответ к пункту б):

$$\boxed{y = 9x + 16; \quad y = 9x — 20}$$