ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.33 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Напишите уравнения тех касательных к графику функции у = arcsinх, которые параллельны заданной прямой:

a) у = 2х — 3;

б) у = х + 2.

Уравнение касательной имеет вид:
$y = f(a) + f'(a)(x — a),$
где $a$ — абсцисса точки касания;

Прямые параллельны, когда равны их угловые коэффициенты.

Дана функция: $y = \arcsin x$;
$k = y'(x) = (\arcsin x)’ = \frac{1}{\sqrt{1 — x^2}};$

а) $y = 2x — 3$, то есть $k = 2$;

$\frac{1}{\sqrt{1 — x^2}} = 2;$
$1 = 2\sqrt{1 — x^2};$
$1 = 4(1 — x^2);$
$1 = 4 — 4x^2;$
$4x^2 = 3;$
$x^2 = \frac{3}{4}, \text{ отсюда } x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2};$
$a_1 = -\frac{\sqrt{3}}{2} \text{ и } a_2 = \frac{\sqrt{3}}{2};$

Уравнение первой касательной:
$y(a_1) = \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3};$
$y'(a_1) = \frac{1}{\sqrt{1 — \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 — \frac{3}{4}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}}} = 1 : \frac{1}{2} = 2;$
$y = -\frac{\pi}{3} + 2\left(x + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2x — \frac{\pi}{3} + \sqrt{3};$

Уравнение второй касательной:
$y(a_2) = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3};$
$y'(a_2) = \frac{1}{\sqrt{1 — \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 — \frac{3}{4}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}}} = 1 : \frac{1}{2} = 2;$
$y = \frac{\pi}{3} + 2\left(x — \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2x + \frac{\pi}{3} — \sqrt{3};$

Ответ: $y = 2x — \frac{\pi}{3} + \sqrt{3};$ $y = 2x + \frac{\pi}{3} — \sqrt{3}.$

б) $y = x + 2$, то есть $k = 1$;

$\frac{1}{\sqrt{1 — x^2}} = 1;$
$1 = \sqrt{1 — x^2};$
$1 = 1 — x^2;$
$x^2 = 0, \text{ отсюда } a = x = 0;$

Уравнение касательной:
$y(a) = \arcsin 0 = 0;$
$y'(a) = \frac{1}{\sqrt{1 — 0^2}} = \frac{1}{\sqrt{1}} = 1;$
$y = 0 + 1(x — 0) = x;$

Ответ: $y = x$.

Теоретическая основа:

Касательная к графику функции $y = f(x)$ в точке $x = a$ задаётся по формуле:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a)$$

где:

• $f(a)$ — значение функции в точке касания,
• $f'(a)$ — значение производной в этой точке,
• $a$ — абсцисса точки касания.

Прямые параллельны, если у них одинаковые угловые коэффициенты (то есть одинаковое значение производной в точке касания).

Дана функция:

$$f(x) = \arcsin x$$

Её производная:

$$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 — x^2}} \quad \text{(определена при } -1 < x < 1 \text{)}$$

а) Прямая $y = 2x — 3$, т.е. угловой коэффициент $k = 2$

Шаг 1: Приравниваем производную к 2

$$\frac{1}{\sqrt{1 — x^2}} = 2$$

Шаг 2: Решим уравнение

Умножим обе части на знаменатель:

$$1 = 2\sqrt{1 — x^2}$$

Поделим обе части на 2:

$$\frac{1}{2} = \sqrt{1 — x^2}$$

Возведём обе части в квадрат:

$$\left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 — x^2 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{4} = 1 — x^2$$ $$x^2 = 1 — \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$ $$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 3: Обозначим точки касания

• $a_1 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
• $a_2 = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Построим касательные в этих точках

Первая касательная в $a_1 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$:

1. Значение функции:

$$f(a_1) = \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3}$$

2. Значение производной:

$$f'(a_1) = \frac{1}{\sqrt{1 — \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 — \frac{3}{4}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$$

3. Подставим в уравнение касательной:

$$y = f(a_1) + f'(a_1)(x — a_1)$$

Подставим:

$$y = -\frac{\pi}{3} + 2\left(x — \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right) = -\frac{\pi}{3} + 2\left(x + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$

Раскроем скобки:

$$y = -\frac{\pi}{3} + 2x + \sqrt{3}$$

Итог:

$$y = 2x — \frac{\pi}{3} + \sqrt{3}$$

Вторая касательная в $a_2 = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

1. Значение функции:

$$f(a_2) = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$$

2. Значение производной:
Та же, что и выше:

$$f'(a_2) = 2$$

3. Уравнение касательной:

$$y = f(a_2) + f'(a_2)(x — a_2) = \frac{\pi}{3} + 2\left(x — \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$

Раскроем скобки:

$$y = \frac{\pi}{3} + 2x — \sqrt{3}$$

Итог:

$$y = 2x + \frac{\pi}{3} — \sqrt{3}$$

Ответ к пункту а):

$$\boxed{y = 2x — \frac{\pi}{3} + \sqrt{3}; \quad y = 2x + \frac{\pi}{3} — \sqrt{3}}$$

б) Прямая $y = x + 2$, т.е. угловой коэффициент $k = 1$

Шаг 1: Приравниваем производную к 1

$$\frac{1}{\sqrt{1 — x^2}} = 1$$

Шаг 2: Решим уравнение

$$1 = \sqrt{1 — x^2}$$

Возведём обе части в квадрат:

$$1 = 1 — x^2 \Rightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$$

Значит, точка касания: $a = 0$

Шаг 3: Подставим в уравнение касательной

1. Значение функции:

$$f(0) = \arcsin(0) = 0$$

2. Значение производной:

$$f'(0) = \frac{1}{\sqrt{1 — 0^2}} = \frac{1}{\sqrt{1}} = 1$$

3. Уравнение касательной:

$$y = f(0) + f'(0)(x — 0) = 0 + 1 \cdot x = x$$

Ответ к пункту б):

$$\boxed{y = x}$$