ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.40 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

К графику заданной функции проведите касательную так, чтобы она была параллельна прямой у = 2 — х:

a) у = arccosх;

б) у = arcctgх.

a) $y = \arccos x$;

$k = (\arccos x)’ = -\frac{1}{\sqrt{1 — x^2}}$;

$$-\frac{1}{\sqrt{1 — x^2}} = -1;$$ $$1 = \sqrt{1 — x^2};$$ $$1 = 1 — x^2;$$ $$x^2 = 0, \text{ отсюда } a = x = 0;$$

Уравнение касательной:

$$y(a) = \arccos 0 = \frac{\pi}{2};$$ $$y'(a) = -\frac{1}{\sqrt{1 — 0^2}} = -\frac{1}{\sqrt{1}} = -1;$$ $$y = \frac{\pi}{2} — 1(x — 0) = \frac{\pi}{2} — x;$$

Ответ: $y = \frac{\pi}{2} — x$.

б) $y = \operatorname{arcctg} x$;

$k = (\operatorname{arcctg} x)’ = -\frac{1}{1 + x^2}$;

$$-\frac{1}{1 + x^2} = -1;$$ $$1 = 1 + x^2;$$ $$x^2 = 0, \text{ отсюда } a = x = 0;$$

Уравнение касательной:

$$y(a) = \operatorname{arcctg} 0 = \frac{\pi}{2};$$ $$y'(a) = -\frac{1}{1 + 0^2} = -\frac{1}{1} = -1;$$ $$y = \frac{\pi}{2} — 1(x — 0) = \frac{\pi}{2} — x;$$

Ответ: $y = \frac{\pi}{2} — x$.

Дано: прямая $y = 2 — x$

Это уравнение прямой в наклонной форме:

$$y = 2 — x = -x + 2$$

Значит, её угловой коэффициент — это число перед $x$:

$$k = -1$$

Найдём такие точки на графиках функций, в которых касательные имеют тот же наклон $k = -1$, то есть касательные параллельны данной прямой.

а) $y = \arccos x$

1. Находим производную функции

Формула производной для функции $y = \arccos x$:

$$\frac{d}{dx} \arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 — x^2}}, \quad \text{при } x \in (-1, 1)$$

Следовательно, производная:

$$y’ = -\frac{1}{\sqrt{1 — x^2}}$$

2. Приравниваем производную к наклону прямой

Требуемое условие касательности:

$$y’ = -\frac{1}{\sqrt{1 — x^2}} = -1$$

Решим это уравнение:

Шаг 1: Умножим обе части на $-1$:

$$\frac{1}{\sqrt{1 — x^2}} = 1$$

Шаг 2: Возьмём обратную величину обеих сторон:

$$\sqrt{1 — x^2} = 1$$

Шаг 3: Возведём обе части в квадрат:

$$1 — x^2 = 1$$

Шаг 4: Выразим $x^2$:

$$x^2 = 1 — 1 = 0 \Rightarrow x = 0$$

Итак, точка $a = x = 0$

3. Уравнение касательной

Теперь найдём уравнение касательной к графику функции в точке $x = 0$.

1) Найдём значение функции:

$$y(a) = y(0) = \arccos 0 = \frac{\pi}{2}$$

2) Найдём значение производной в этой точке:

$$y'(a) = y'(0) = -\frac{1}{\sqrt{1 — 0^2}} = -\frac{1}{\sqrt{1}} = -1$$

3) Уравнение касательной:
Общий вид уравнения касательной к графику $y = f(x)$ в точке $x = a$:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a)$$

Подставим:

$$y = \frac{\pi}{2} + (-1)(x — 0) = \frac{\pi}{2} — x$$

Ответ (а):

$$\boxed{y = \frac{\pi}{2} — x}$$

б) $y = \operatorname{arcctg} x$

1. Найдём производную функции

Формула производной арккотангенса:

$$\frac{d}{dx} \operatorname{arcctg} x = -\frac{1}{1 + x^2}, \quad \text{для всех } x \in \mathbb{R}$$

Следовательно:

$$y’ = -\frac{1}{1 + x^2}$$

2. Приравниваем производную к наклону прямой

$$-\frac{1}{1 + x^2} = -1$$

Шаг 1: Умножим обе части на $-1$:

$$\frac{1}{1 + x^2} = 1$$

Шаг 2: Возьмём обратную величину:

$$1 + x^2 = 1$$

Шаг 3: Решим уравнение:

$$x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$$

Итак, $a = x = 0$

3. Уравнение касательной

1) Найдём значение функции:

$$y(a) = \operatorname{arcctg} 0$$

Значение арккотангенса нуля:

$$\operatorname{arcctg} 0 = \frac{\pi}{2}$$

2) Найдём значение производной в точке $x = 0$:

$$y'(0) = -\frac{1}{1 + 0^2} = -\frac{1}{1} = -1$$

3) Запишем уравнение касательной:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a) \Rightarrow y = \frac{\pi}{2} — 1(x — 0) = \frac{\pi}{2} — x$$

Ответ (б):

$$\boxed{y = \frac{\pi}{2} — x}$$