ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.43 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Вычислите координаты точек пересечения с осью $y$ тех касательных к графику функции $y = \frac{3x — 1}{x + 8}$, которые образуют угол $45^\circ$ с осью $x$.

б) Вычислите координаты точек пересечения с осью $y$ тех касательных к графику функции $y = \frac{x + 4}{x — 5}$, которые образуют угол $135^\circ$ с осью $x$.

а) $y = \frac{3x — 1}{x + 8}$ и $\varphi = 45^\circ$;

$y'(x) = \frac{(3x — 1)'(x + 8) — (3x — 1)(x + 8)’}{(x + 8)^2}$;

$$y'(x) = \frac{3(x + 8) — (3x — 1)}{(x + 8)^2} = \frac{3x + 24 — 3x + 1}{(x + 8)^2} = \frac{25}{(x + 8)^2}$$

$\tan \varphi = \tan 45^\circ = 1$:

$$\frac{25}{(x + 8)^2} = 1$$ $$25 = (x + 8)^2, \text{ тогда: }$$ $$x_1 + 8 = -5, \text{ отсюда } x_1 = -13;$$ $$x_2 + 8 = 5, \text{ отсюда } x_2 = -3;$$ $$a_1 = -13 \text{ и } a_2 = -3;$$

Пересечение первой касательной с осью $y$:

$$y(a_1) = \frac{3(-13) — 1}{-13 + 8} = \frac{-39 — 1}{-5} = \frac{-40}{-5} = 8;$$ $$y'(a_1) = \left( \frac{5}{-13 + 8} \right)^2 = \left( \frac{5}{-5} \right)^2 = (-1)^2 = 1;$$ $$y = 8 + 1(x + 13) = 8 + x + 13 = x + 21;$$ $$y(0) = 0 + 21 = 21;$$

Пересечение второй касательной с осью $y$:

$$y(a_2) = \frac{3(-3) — 1}{-3 + 8} = \frac{-9 — 1}{5} = \frac{-10}{5} = -2;$$ $$y'(a_2) = \left( \frac{5}{-3 + 8} \right)^2 = \left( \frac{5}{5} \right)^2 = 1^2 = 1;$$ $$y = -2 + 1(x + 3) = -2 + x + 3 = x + 1;$$ $$y(0) = 0 + 1 = 1;$$

Ответ: $(0; 21); (0; 1)$.

б) $y = \frac{x + 4}{x — 5}$ и $\varphi = 135^\circ$;

$y'(x) = \frac{(x + 4)'(x — 5) — (x + 4)(x — 5)’}{(x — 5)^2}$;

$$y'(x) = \frac{(x — 5) — (x + 4)}{(x — 5)^2} = \frac{x — 5 — x — 4}{(x — 5)^2} = \frac{-9}{(x — 5)^2}$$

$\tan \varphi = \tan 135^\circ = -1$:

$$-\frac{9}{(x — 5)^2} = -1$$ $$9 = (x — 5)^2, \text{ тогда: }$$ $$x — 5 = -3, \text{ отсюда } x_1 = 2;$$ $$x — 5 = 3, \text{ отсюда } x_2 = 8;$$ $$a_1 = 2 \text{ и } a_2 = 8;$$

Пересечение первой касательной с осью $y$:

$$f(a_1) = \frac{2 + 4}{2 — 5} = \frac{6}{-3} = -2;$$ $$f'(a_1) = -\frac{9}{(2 — 5)^2} = -\frac{9}{(-3)^2} = -\frac{9}{9} = -1;$$ $$y = -2 — 1(x — 2) = -2 — x + 2 = -x;$$ $$y(0) = 0;$$

Пересечение второй касательной с осью $y$:

$$f(a_2) = \frac{8 + 4}{8 — 5} = \frac{12}{3} = 4;$$ $$f'(a_2) = -\frac{9}{(8 — 5)^2} = -\frac{9}{3^2} = -\frac{9}{9} = -1;$$ $$y = 4 — 1(x — 8) = 4 — x + 8 = 12 — x;$$ $$y(0) = 12 — 0 = 12;$$

Ответ: $(0; 0); (0; 12)$.

а) $y = \dfrac{3x — 1}{x + 8}$, угол касательной $\varphi = 45^\circ$

1. Найдём производную функции $y = \dfrac{3x — 1}{x + 8}$

Это дробь, т.е. отношение двух функций, поэтому применим правило производной частного:

$$y'(x) = \frac{u'(x)v(x) — u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}, \text{ где } u(x) = 3x — 1, \, v(x) = x + 8$$

• $u'(x) = (3x — 1)’ = 3$
• $v(x) = x + 8$
• $u(x) = 3x — 1$
• $v'(x) = (x + 8)’ = 1$

Подставим:

$$y'(x) = \frac{3(x + 8) — (3x — 1)(1)}{(x + 8)^2}$$

Раскроем скобки:

$$y'(x) = \frac{3x + 24 — 3x + 1}{(x + 8)^2} = \frac{25}{(x + 8)^2}$$

2. Задано: касательная образует угол $\varphi = 45^\circ$, значит её наклон равен $\tan \varphi = \tan 45^\circ = 1$

Подставим это значение в выражение для производной:

$$y'(x) = \frac{25}{(x + 8)^2} = 1$$

Теперь найдём $x$, при которых это выполняется:

$$\frac{25}{(x + 8)^2} = 1 \Rightarrow (x + 8)^2 = 25$$

Извлекаем корень:

$$x + 8 = \pm 5 \Rightarrow \begin{cases} x_1 + 8 = -5 \Rightarrow x_1 = -13 \\ x_2 + 8 = 5 \Rightarrow x_2 = -3 \end{cases}$$

3. Найдём уравнения касательных в точках $x = -13$ и $x = -3$

Точка 1: $x = -13$

Найдём значение функции:

$$y(-13) = \frac{3(-13) — 1}{-13 + 8} = \frac{-39 — 1}{-5} = \frac{-40}{-5} = 8$$

Проверим производную:

$$y'(-13) = \frac{25}{(-13 + 8)^2} = \frac{25}{(-5)^2} = \frac{25}{25} = 1$$

Теперь найдём уравнение касательной по формуле:

$$y = y_0 + m(x — x_0), \text{ где } m = 1,\, (x_0, y_0) = (-13, 8)$$ $$y = 8 + 1(x + 13) = 8 + x + 13 = x + 21$$

Найдём пересечение с осью $y$ (т.е. подставим $x = 0$):

$$y(0) = 0 + 21 = 21 \Rightarrow \text{Точка пересечения: } (0; 21)$$

Точка 2: $x = -3$

Найдём значение функции:

$$y(-3) = \frac{3(-3) — 1}{-3 + 8} = \frac{-9 — 1}{5} = \frac{-10}{5} = -2$$

Проверим производную:

$$y'(-3) = \frac{25}{(-3 + 8)^2} = \frac{25}{25} = 1$$

Уравнение касательной:

$$y = -2 + 1(x + 3) = -2 + x + 3 = x + 1$$

Пересечение с осью $y$:

$$y(0) = 0 + 1 = 1 \Rightarrow \text{Точка пересечения: } (0; 1)$$

Ответ (а):

Точки пересечения касательных с осью $y$:

$$(0; 21) \text{ и } (0; 1)$$

б) $y = \dfrac{x + 4}{x — 5}$, угол касательной $\varphi = 135^\circ$

1. Найдём производную $y = \dfrac{x + 4}{x — 5}$

Снова применим правило производной частного:

• $u(x) = x + 4 \Rightarrow u'(x) = 1$
• $v(x) = x — 5 \Rightarrow v'(x) = 1$

$$y'(x) = \frac{(x + 4)'(x — 5) — (x + 4)(x — 5)’}{(x — 5)^2} = \frac{(x — 5) — (x + 4)}{(x — 5)^2}$$

Раскроем скобки:

$$y'(x) = \frac{x — 5 — x — 4}{(x — 5)^2} = \frac{-9}{(x — 5)^2}$$

2. Касательная образует угол $135^\circ$, значит $\tan 135^\circ = -1$

Решим уравнение:

$$y'(x) = \frac{-9}{(x — 5)^2} = -1 \Rightarrow (x — 5)^2 = 9$$

Извлекаем корень:

$$x — 5 = \pm 3 \Rightarrow \begin{cases} x_1 = 2 \\ x_2 = 8 \end{cases}$$

3. Найдём уравнения касательных в точках $x = 2$ и $x = 8$

Точка 1: $x = 2$

Вычислим значение функции:

$$y(2) = \frac{2 + 4}{2 — 5} = \frac{6}{-3} = -2$$

Производная:

$$y'(2) = \frac{-9}{(2 — 5)^2} = \frac{-9}{9} = -1$$

Уравнение касательной:

$$y = -2 — 1(x — 2) = -2 — x + 2 = -x$$

Пересечение с осью $y$:

$$y(0) = -0 = 0 \Rightarrow (0; 0)$$

Точка 2: $x = 8$

Значение функции:

$$y(8) = \frac{8 + 4}{8 — 5} = \frac{12}{3} = 4$$

Производная:

$$y'(8) = \frac{-9}{(8 — 5)^2} = \frac{-9}{9} = -1$$

Уравнение касательной:

$$y = 4 — 1(x — 8) = 4 — x + 8 = 12 — x$$

Пересечение с осью $y$:

$$y(0) = 12 — 0 = 12 \Rightarrow (0; 12)$$

Ответ (б):

Точки пересечения касательных с осью $y$:

$$(0; 0) \text{ и } (0; 12)$$