ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.44 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Составьте уравнение параболы у = х² + bх + с, касающейся прямой у = -х в точке М(1; 1).

Парабола $y = x^2 + bx + c$ и прямая $y = -x$ касаются в точке $M(1; -1)$.

Абсцисса точки касания: $a = 1$;

Угловой коэффициент касательной:

$$y = -x, \text{ то есть } k = -1;$$ $$k = y'(x) = (x^2)’ + (bx + c)’ = 2x + b;$$ $$y'(a) = 2 \cdot 1 + b = 2 + b;$$ $$2 + b = -1, \text{ отсюда } b = -3;$$

Уравнение касательной:

$$y(a) = 1^2 + b \cdot 1 + c = 1 + b + c = 1 — 3 + c = -2 + c;$$ $$y = -2 + c — 1(x — 1) = -2 + c — x + 1 = c — x — 1;$$ $$y(1) = c — 1 = -1;$$ $$c — 2 = -1, \text{ отсюда } c = 1;$$

Ответ: $y = x^2 — 3x + 1$.

Парабола задана уравнением:

$$y = x^2 + bx + c$$

Прямая задана уравнением:

$$y = -x$$

Известно, что парабола и прямая касаются в точке $M(1; -1)$.

Цель:

Найти коэффициенты $b$ и $c$ так, чтобы парабола $y = x^2 + bx + c$ касалась прямой $y = -x$ в точке $M(1; -1)$, и записать уравнение параболы.

Решение:

Шаг 1. Координаты точки касания

Из условия:

$$M(1; -1) \Rightarrow x = 1, \quad y = -1$$

Эта точка лежит одновременно на параболе и на прямой — значит, удовлетворяет обоим уравнениям. Используем это для нахождения связи между коэффициентами.

Шаг 2. Требование касания

Касание означает:

1. Точка принадлежит обеим кривым.
2. Производные (наклоны касательных) в этой точке совпадают.

Шаг 3. Первое условие: $M \in \text{парабола}$

Подставим $x = 1$, $y = -1$ в уравнение параболы:

$$y = x^2 + bx + c \Rightarrow -1 = 1^2 + b \cdot 1 + c = 1 + b + c$$ $$b + c = -2 \tag{1}$$

Шаг 4. Второе условие: совпадение наклонов (касательных)

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке — это значение производной в этой точке.

Для прямой $y = -x$:

Прямая — это линейная функция с угловым коэффициентом:

$$k = -1$$

Для параболы $y = x^2 + bx + c$:

Вычислим производную:

$$y'(x) = (x^2)’ + (bx)’ + (c)’ = 2x + b$$

Подставим $x = 1$:

$$y'(1) = 2 \cdot 1 + b = 2 + b$$

Так как касательные совпадают:

$$2 + b = -1 \Rightarrow b = -3 \tag{2}$$

Шаг 5. Найдём $c$, используя (1)

Подставим $b = -3$ в уравнение (1):

$$-3 + c = -2 \Rightarrow c = 1$$

Шаг 6. Уравнение параболы

Теперь мы знаем:

• $b = -3$
• $c = 1$

Подставим в уравнение параболы:

$$y = x^2 — 3x + 1$$

Проверка

Проверим, что точка $(1; -1)$ действительно лежит на графике:

$$y(1) = 1^2 — 3 \cdot 1 + 1 = 1 — 3 + 1 = -1 \quad \checkmark$$

Проверим, что производная равна $-1$:

$$y'(x) = 2x — 3 \Rightarrow y'(1) = 2 \cdot 1 — 3 = -1 \quad \checkmark$$

Ответ:

$$\boxed{y = x^2 — 3x + 1}$$