ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.45 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Проведите касательную к графику функции у = х² + 1, проходящую через точку А, не принадлежащую этому графику, если:

a) А(-1; -2);

б) А(0; 0);

в) А(0; -3);

г) А(-1; 1).

Дана функция: $y = x^2 + 1$;

$y'(x) = 2 = 2x + 0 = 2x$;

Уравнение касательной:

$y(a) = a^2 + 1$ и $y'(a) = 2a$;

$y = a^2 + 1 + 2a(x — a) = a^2 + 1 + 2ax — 2a^2 = 1 + 2ax — a^2$;

$y = 1 + 2ax — a^2$;

а) $A(-1; -2)$;

Абсцисса точки касания:

$$-2 = 1 + 2a \cdot (-1) — a^2;$$ $$-2 = 1 — 2a — a^2;$$ $$a^2 + 2a — 3 = 0;$$

$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16$, тогда:

$$a_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1;$$

Уравнения касательных:

$$y_1 = 1 + 2 \cdot (-3)x — (-3)^2 = 1 — 6x — 9 = -6x — 8;$$ $$y_2 = 1 + 2 \cdot 1x — 1^2 = 1 + 2x — 1 = 2x;$$

Ответ: $y = -6x — 8$; $y = 2x$.

б) $A(0; 0)$;

Абсцисса точки касания:

$$0 = 1 + 2a \cdot 0 — a^2;$$ $$0 = 1 — a^2;$$ $$a^2 = 1, \text{отсюда } a = \pm 1;$$

Уравнения касательных:

$$y_1 = 1 + 2 \cdot (-1)x — (-1)^2 = 1 — 2x — 1 = -2x;$$ $$y_2 = 1 + 2 \cdot 1x — 1^2 = 1 + 2x — 1 = 2x;$$

Ответ: $y = -2x$; $y = 2x$.

в) $A(0; -3)$;

Абсцисса точки касания:

$$-3 = 1 + 2a \cdot 0 — a^2;$$ $$-3 = 1 — a^2;$$ $$a^2 = 4, \text{отсюда } a = \pm 2;$$

Уравнения касательных:

$$y_1 = 1 + 2 \cdot (-2)x — (-2)^2 = 1 — 4x — 4 = -4x — 3;$$ $$y_2 = 1 + 2 \cdot 2x — 2^2 = 1 + 4x — 4 = 4x — 3;$$

Ответ: $y = -4x — 3$; $y = 4x — 3$.

г) $A(-1; 1)$;

Абсцисса точки касания:

$$1 = 1 + 2a \cdot (-1) — a^2;$$ $$1 = 1 — 2a — a^2;$$ $$a^2 + 2a = 0;$$ $$a(a + 2) = 0;$$ $$a_1 = 0 \quad \text{и} \quad a_2 = -2;$$

Уравнения касательных:

$$y_1 = 1 + 2 \cdot 0x — 0^2 = 1;$$ $$y_2 = 1 + 2 \cdot (-2)x — (-2)^2 = 1 — 4x — 4 = -4x — 3;$$

Ответ: $y = 1$; $y = -4x — 3$.

Функция:

$$y = x^2 + 1$$

Производная этой функции:

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x$$

Общий вид касательной к графику $y = x^2 + 1$ в точке $x = a$:

Найдём значение функции в точке $x = a$:

$$y(a) = a^2 + 1$$

Найдём значение производной в этой точке (это и есть угловой коэффициент касательной):

$$y'(a) = 2a$$

Формула касательной к графику функции в точке $x = a$:

$$y = y(a) + y'(a)(x — a)$$

Подставим:

$$y = a^2 + 1 + 2a(x — a)$$

Раскроем скобки:

$$y = a^2 + 1 + 2ax — 2a^2 = 1 + 2ax — a^2$$

а) Точка $A(-1; -2)$

Шаг 1: Подставим координаты в уравнение касательной

$$-2 = 1 + 2a(-1) — a^2 = 1 — 2a — a^2$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$-2 — 1 + 2a + a^2 = 0 \Rightarrow a^2 + 2a — 3 = 0$$

Шаг 2: Решим квадратное уравнение

$$D = (2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$ $$a_1 = \frac{-2 — \sqrt{16}}{2} = \frac{-6}{2} = -3, \quad a_2 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Шаг 3: Построим касательные

Для $a = -3$:

$$y = 1 + 2 \cdot (-3)x — (-3)^2 = 1 — 6x — 9 = -6x — 8$$

Для $a = 1$:

$$y = 1 + 2 \cdot 1x — 1^2 = 1 + 2x — 1 = 2x$$

Ответ (а):

$$y = -6x — 8; \quad y = 2x$$

б) Точка $A(0; 0)$

Шаг 1: Подставим координаты в уравнение касательной

$$0 = 1 + 2a(0) — a^2 \Rightarrow 0 = 1 — a^2 \Rightarrow a^2 = 1 \Rightarrow a = \pm 1$$

Шаг 2: Построим касательные

Для $a = -1$:

$$y = 1 + 2 \cdot (-1)x — (-1)^2 = 1 — 2x — 1 = -2x$$

Для $a = 1$:

$$y = 1 + 2 \cdot 1x — 1^2 = 1 + 2x — 1 = 2x$$

Ответ (б):

$$y = -2x; \quad y = 2x$$

в) Точка $A(0; -3)$

Шаг 1: Подставим координаты в уравнение касательной

$$-3 = 1 + 2a \cdot 0 — a^2 \Rightarrow -3 = 1 — a^2 \Rightarrow a^2 = 4 \Rightarrow a = \pm 2$$

Шаг 2: Построим касательные

Для $a = -2$:

$$y = 1 + 2 \cdot (-2)x — (-2)^2 = 1 — 4x — 4 = -4x — 3$$

Для $a = 2$:

$$y = 1 + 2 \cdot 2x — 2^2 = 1 + 4x — 4 = 4x — 3$$

Ответ (в):

$$y = -4x — 3; \quad y = 4x — 3$$

г) Точка $A(-1; 1)$

Шаг 1: Подставим координаты в уравнение касательной

$$1 = 1 + 2a(-1) — a^2 \Rightarrow 1 = 1 — 2a — a^2$$

Упростим:

$$1 — 1 + 2a + a^2 = 0 \Rightarrow a^2 + 2a = 0 \Rightarrow a(a + 2) = 0 \Rightarrow a = 0 \text{ или } a = -2$$

Шаг 2: Построим касательные

Для $a = 0$:

$$y = 1 + 2 \cdot 0x — 0^2 = 1$$

Для $a = -2$:

$$y = 1 + 2 \cdot (-2)x — (-2)^2 = 1 — 4x — 4 = -4x — 3$$

Ответ (г):

$$y = 1; \quad y = -4x — 3$$