ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.5 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $f(x) = \sin x$ и $a = 0$;

$f'(x) = (\sin x)’ = \cos x$;

$f'(a) = \cos 0 = 1$;

Ответ: $k = 1$.

б) $f(x) = \operatorname{tg} 2x$ и $a = \frac{\pi}{8}$;

$f'(x) = (\operatorname{tg} 2x)’ = \frac{2}{\cos^2 2x}$;

$f'(a) = 2 : \cos^2 \frac{\pi}{4} = 2 : \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = 2 \cdot \frac{4}{2} = 4$;

Ответ: $k = 4$.

в) $f(x) = \cos 3x$ и $a = \frac{\pi}{2}$;

$f'(x) = (\cos 3x)’ = -3 \sin 3x$;

$f'(a) = -3 \sin \frac{3\pi}{2} = -3 \cdot (-1) = 3$;

Ответ: $k = 3$.

г) $f(x) = \operatorname{ctg} x$ и $a = \frac{\pi}{3}$;

$f'(x) = (\operatorname{ctg} x)’ = -\frac{1}{\sin^2 x}$;

$f'(a) = -1 : \sin^2 \frac{\pi}{3} = -1 : \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = -1 \cdot \frac{4}{3} = -\frac{4}{3}$;

Ответ: $k = -\frac{4}{3}$.

Производные тригонометрических функций:

Производная от синуса:

$$\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x.$$

Производная от тангенса:

$$\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x.$$

Производная от косинуса:

$$\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x.$$

Производная от котангенса:

$$\frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x.$$

Применение этих правил в каждой задаче:

а) $f(x) = \sin x$ и $a = 0$:

Нахождение производной:

Для функции $f(x) = \sin x$ применим правило для производной синуса:

$$f'(x) = (\sin x)’ = \cos x.$$

Вычисление производной в точке $a = 0$:

Теперь подставим $x = 0$ в выражение для производной:

$$f'(0) = \cos(0).$$

Известно, что $\cos(0) = 1$, следовательно:

$$f'(0) = 1.$$

Ответ: $k = 1$.

б) $f(x) = \tan(2x)$ и $a = \frac{\pi}{8}$:

Нахождение производной:

Для функции $f(x) = \tan(2x)$ применим правило для производной тангенса:

$$f'(x) = (\tan(2x))’ = \frac{d}{dx} \left( \tan(2x) \right).$$

Для дифференцирования выражения $\tan(2x)$ используем цепное правило. Производная от $\tan(u)$ равна $\sec^2(u)$, где $u = 2x$, и затем умножаем на производную $2x$, которая равна 2:

$$f'(x) = 2 \cdot \sec^2(2x).$$

Вычисление производной в точке $a = \frac{\pi}{8}$:

Подставим $x = \frac{\pi}{8}$ в выражение для производной:

$$f’\left(\frac{\pi}{8}\right) = 2 \cdot \sec^2\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) = 2 \cdot \sec^2\left(\frac{\pi}{4}\right).$$

Теперь находим $\sec^2\left(\frac{\pi}{4}\right)$. Известно, что $\sec\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{2}$, и следовательно:

$$\sec^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = (\sqrt{2})^2 = 2.$$

Подставляем значение в формулу для производной:

$$f’\left(\frac{\pi}{8}\right) = 2 \cdot 2 = 4.$$

Ответ: $k = 4$.

в) $f(x) = \cos(3x)$ и $a = \frac{\pi}{2}$:

Нахождение производной:

Для функции $f(x) = \cos(3x)$ применим правило для производной косинуса:

$$f'(x) = (\cos(3x))’ = -\sin(3x) \cdot 3 = -3 \sin(3x).$$

Вычисление производной в точке $a = \frac{\pi}{2}$:

Подставим $x = \frac{\pi}{2}$ в выражение для производной:

$$f’\left(\frac{\pi}{2}\right) = -3 \sin\left(3 \cdot \frac{\pi}{2}\right).$$

Знаем, что $\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1$, следовательно:

$$f’\left(\frac{\pi}{2}\right) = -3 \cdot (-1) = 3.$$

Ответ: $k = 3$.

г) $f(x) = \cot(x)$ и $a = \frac{\pi}{3}$:

Нахождение производной:

Для функции $f(x) = \cot(x)$ применим правило для производной котангенса:

$$f'(x) = (\cot(x))’ = -\csc^2(x).$$

Вычисление производной в точке $a = \frac{\pi}{3}$:

Подставим $x = \frac{\pi}{3}$ в выражение для производной:

$$f’\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\csc^2\left(\frac{\pi}{3}\right).$$

Теперь находим $\csc\left(\frac{\pi}{3}\right)$. Известно, что $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, и следовательно:

$$\csc\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}.$$

Таким образом, $\csc^2\left(\frac{\pi}{3}\right) = \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)^2 = \frac{4}{3}$.

Подставляем это значение в выражение для производной:

$$f’\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{4}{3}.$$

Ответ: $k = -\frac{4}{3}$.