ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.54 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Найдите точку пересечения касательных к графику функции $y = x^2 — |2x — 6|$, проведённых через точки с абсциссами $x = 5$, $x = -5$.

б) Найдите точку пересечения касательных к графику функции $y = x^3 + |x — 1|$, проведённых через точки с абсциссами $x = 2$, $x = -2$.

а) $y = x^2 — |2x — 6|$ и $a = \pm 5$;

$2x — 6 \geq 0$;
$2x \geq 6$, отсюда $x \geq 3$;

По определению модуля числа:

$$y = \begin{cases} x^2 — 2x + 6, & \text{если } x \geq 3; \\ x^2 + 2x — 6, & \text{если } x < 3; \end{cases}$$

Уравнение первой касательной:
$y'(x < 3) = (x^2)’ + (2x — 6)’ = 2x + 2$;
$y(a_1) = (-5)^2 + 2 \cdot (-5) — 6 = 25 — 10 — 6 = 9$;
$y'(a_1) = 2 \cdot (-5) + 2 = -10 + 2 = -8$;
$y = 9 — 8(x + 5) = 9 — 8x — 40 = -8x — 31$;

Уравнение второй касательной:
$y'(x \geq 3) = (x^2)’ — (2x — 6)’ = 2x — 2$;
$y(a_2) = 5^2 — 2 \cdot 5 + 6 = 25 — 10 + 6 = 21$;
$y'(a_2) = 2 \cdot 5 — 2 = 10 — 2 = 8$;
$y = 21 + 8(x — 5) = 21 + 8x — 40 = 8x — 19$;

Точка пересечения касательных:
$8x — 19 = -8x — 31$;
$16x = -12$, отсюда $x = -\frac{12}{16} = -\frac{3}{4}$;
$y = 8 \cdot \left( -\frac{3}{4} \right) — 19 = 2 \cdot (-3) — 19 = -6 — 19 = -25$;

Ответ: $\left( -\frac{3}{4}, -25 \right)$.

б) $y = x^3 + |x — 1|$ и $a = \pm 2$;

$x — 1 \geq 0$, отсюда $x \geq 1$;

По определению модуля числа:

$$y = \begin{cases} x^3 + x — 1, & \text{если } x \geq 1; \\ x^3 — x + 1, & \text{если } x < 1; \end{cases}$$

Уравнение первой касательной:
$y'(x < 1) = (x^3)’ — (x — 1)’ = 3x^2 — 1$;
$y(a_1) = (-2)^3 — (-2) + 1 = -8 + 2 + 1 = -5$;
$y'(a_1) = 3 \cdot (-2)^2 — 1 = 3 \cdot 4 — 1 = 12 — 1 = 11$;
$y = -5 + 11(x + 2) = -5 + 11x + 22 = 11x + 17$;

Уравнение второй касательной:
$y'(x \geq 1) = (x^3)’ + (x — 1)’ = 3x^2 + 1$;
$y(a_2) = 2^3 + 2 — 1 = 8 + 2 — 1 = 9$;
$y'(a_2) = 3 \cdot 2^2 + 1 = 3 \cdot 4 + 1 = 12 + 1 = 13$;
$y = 9 + 13(x — 2) = 9 + 13x — 26 = 13x — 17$;

Точка пересечения касательных:
$13x — 17 = 11x + 17$;
$2x = 34$, отсюда $x = 17$;
$y = 13 \cdot 17 — 17 = 12 \cdot 17 = 204$;

Ответ: $(17; 204)$.

а) Найдите точку пересечения касательных к графику функции $y = x^2 — |2x — 6|$, проведённых через точки с абсциссами $x = 5$, $x = -5$.

Шаг 1: Раскроем модуль $|2x — 6|$

Модуль $|2x — 6|$ раскрывается по определению:

$$|2x — 6| = \begin{cases} 2x — 6, & \text{если } 2x — 6 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3; \\ -(2x — 6) = -2x + 6, & \text{если } x < 3. \end{cases}$$

Шаг 2: Выражаем функцию без модуля

Тогда исходная функция:

$$y = x^2 — |2x — 6| = \begin{cases} x^2 — (2x — 6) = x^2 — 2x + 6, & x \geq 3; \\ x^2 — (-2x + 6) = x^2 + 2x — 6, & x < 3. \end{cases}$$

Шаг 3: Первая точка: $x = -5$ (менее 3, используем нижнюю ветвь)

1) Функция на этом участке:

$$y = x^2 + 2x — 6$$

2) Производная (касательная):

$$y’ = \frac{d}{dx}(x^2 + 2x — 6) = 2x + 2$$

3) Значение функции в точке $x = -5$:

$$y(-5) = (-5)^2 + 2(-5) — 6 = 25 — 10 — 6 = 9$$

4) Значение производной в точке $x = -5$:

$$y'(-5) = 2 \cdot (-5) + 2 = -10 + 2 = -8$$

5) Уравнение касательной:

Касательная имеет уравнение:

$$y = y_0 + k(x — x_0)$$

Подставляем:
$y_0 = 9$, $x_0 = -5$, $k = -8$:

$$y = 9 — 8(x + 5) = 9 — 8x — 40 = -8x — 31$$

Шаг 4: Вторая точка: $x = 5$ (больше 3, используем верхнюю ветвь)

1) Функция на этом участке:

$$y = x^2 — 2x + 6$$

2) Производная:

$$y’ = \frac{d}{dx}(x^2 — 2x + 6) = 2x — 2$$

3) Значение функции в точке $x = 5$:

$$y(5) = 25 — 10 + 6 = 21$$

4) Значение производной:

$$y'(5) = 2 \cdot 5 — 2 = 10 — 2 = 8$$

5) Уравнение касательной:

$$y = 21 + 8(x — 5) = 21 + 8x — 40 = 8x — 19$$

Шаг 5: Найдём точку пересечения касательных

Решаем уравнение:

$$-8x — 31 = 8x — 19$$

Переносим все в одну сторону:

$$-8x — 8x = -19 + 31 \Rightarrow -16x = 12 \Rightarrow x = -\frac{12}{16} = -\frac{3}{4}$$

Подставляем в любое из уравнений касательных, например в $y = 8x — 19$:

$$y = 8 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) — 19 = -6 — 19 = -25$$

Ответ для пункта а:

$$\boxed{\left( -\dfrac{3}{4},\ -25 \right)}$$

б) Найдите точку пересечения касательных к графику функции $y = x^3 + |x — 1|$, проведённых через точки с абсциссами $x = 2$, $x = -2$.

Шаг 1: Раскрытие модуля $|x — 1|$

$$|x — 1| = \begin{cases} x — 1, & x \geq 1; \\ -(x — 1) = -x + 1, & x < 1 \end{cases}$$

Шаг 2: Выражаем функцию без модуля

$$y = x^3 + |x — 1| = \begin{cases} x^3 + x — 1, & x \geq 1; \\ x^3 — x + 1, & x < 1 \end{cases}$$

Шаг 3: Первая точка $x = -2$ (меньше 1)

1) Функция:

$$y = x^3 — x + 1$$

2) Производная:

$$y’ = \frac{d}{dx}(x^3 — x + 1) = 3x^2 — 1$$

3) Значение функции:

$$y(-2) = (-2)^3 — (-2) + 1 = -8 + 2 + 1 = -5$$

4) Значение производной:

$$y'(-2) = 3 \cdot (-2)^2 — 1 = 3 \cdot 4 — 1 = 12 — 1 = 11$$

5) Уравнение касательной:

$$y = -5 + 11(x + 2) = -5 + 11x + 22 = 11x + 17$$

Шаг 4: Вторая точка $x = 2$ (больше 1)

1) Функция:

$$y = x^3 + x — 1$$

2) Производная:

$$y’ = \frac{d}{dx}(x^3 + x — 1) = 3x^2 + 1$$

3) Значение функции:

$$y(2) = 8 + 2 — 1 = 9$$

4) Значение производной:

$$y'(2) = 3 \cdot 4 + 1 = 12 + 1 = 13$$

5) Уравнение касательной:

$$y = 9 + 13(x — 2) = 9 + 13x — 26 = 13x — 17$$

Шаг 5: Найдём точку пересечения касательных

$$11x + 17 = 13x — 17$$

Переносим:

$$11x — 13x = -17 — 17 \Rightarrow -2x = -34 \Rightarrow x = 17$$

Подставляем в любое уравнение, например $y = 13x — 17$:

$$y = 13 \cdot 17 — 17 = 221 — 17 = 204$$

Ответ для пункта б:

$$\boxed{(17,\ 204)}$$