ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.6 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $f(x) = \sqrt{\operatorname{tg} x}$ и $a = \frac{\pi}{4}$;

Пусть $u = \operatorname{tg} x$, тогда $f(x) = \sqrt{u}$;

$$f'(x) = (\sqrt{u})’ \cdot (\operatorname{tg} x)’ = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{2 \cdot \operatorname{tg} x \cdot \cos^2 x};$$ $$f'(a) = \frac{1}{2 \cdot \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} \cdot \cos^2 \frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2 \cdot 1 \cdot \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2} = \frac{1}{2} : \frac{4}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{2} = \frac{4}{4} = 1;$$

Ответ: $k = 1$.

б) $f(x) = \cos^2 x$ и $a = \frac{\pi}{12}$;

Пусть $u = \cos x$, тогда $f(x) = u^2$;

$$f'(x) = (u^2)’ \cdot (\cos x)’ = 2u \cdot (-\sin x) = -2 \cdot \cos x \cdot \sin x = -\sin 2x;$$ $$f'(a) = -\sin \frac{2\pi}{12} = -\sin \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2};$$

Ответ: $k = -\frac{1}{2}$.

в) $f(x) = \operatorname{ctg}^4 x$ и $a = \frac{\pi}{4}$;

Пусть $u = \operatorname{ctg} x$, тогда $f(x) = u^4$;

$$f'(x) = (u^4)’ \cdot (\operatorname{ctg} x)’ = 4u^3 \cdot \left( -\frac{1}{\sin^2 x} \right) = -\frac{4 \cdot \operatorname{ctg}^3 x}{\sin^2 x};$$ $$f'(a) = -\frac{4 \cdot \operatorname{ctg}^3 \frac{\pi}{4}}{\sin^2 \frac{\pi}{4}} = (-4 \cdot 1^3) : \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = -4 \cdot \frac{4}{2} = -\frac{16}{2} = -8;$$

Ответ: $k = -8$.

г) $f(x) = \sqrt{2 — \sin x}$ и $a = \frac{\pi}{2}$;

Пусть $u = (2 — \sin x)$, тогда $f(x) = \sqrt{u}$;

$$f'(x) = (\sqrt{u})’ \cdot (2 — \sin x)’ = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot (-\cos x) = -\frac{\cos x}{2\sqrt{2 — \sin x}};$$ $$f'(a) = -\frac{\cos \frac{\pi}{2}}{2\sqrt{2 — \sin \frac{\pi}{2}}} = -\frac{0}{2\sqrt{2 — 1}} = 0;$$

Ответ: $k = 0$.

а) $f(x) = \sqrt{\operatorname{tg} x}$ и $a = \frac{\pi}{4}$

Шаг 1: Нахождение производной

Для функции $f(x) = \sqrt{\operatorname{tg} x}$ будем использовать цепное правило. Разделим функцию на две части:

• Внешняя функция $f(u) = \sqrt{u}$, где $u = \operatorname{tg} x$,
• Внутренняя функция $u = \operatorname{tg} x$.

Сначала найдём производную от внешней функции $f(u) = \sqrt{u}$:

$$\frac{d}{du}(\sqrt{u}) = \frac{1}{2\sqrt{u}}.$$

Теперь дифференцируем внутреннюю функцию $u = \operatorname{tg} x$. Известно, что производная от $\operatorname{tg} x$ по $x$ равна $\frac{1}{\cos^2 x}$. Таким образом, применяя цепное правило, получаем:

$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{2\sqrt{\operatorname{tg} x}} \cdot \frac{1}{\cos^2 x}.$$

Теперь, для удобства, можно привести это к следующему виду:

$$f'(x) = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{\operatorname{tg} x} \cdot \cos^2 x}.$$

Шаг 2: Вычисление производной в точке $a = \frac{\pi}{4}$

Теперь подставим $x = \frac{\pi}{4}$ в выражение для производной. Для этого нужно найти значения $\operatorname{tg} \frac{\pi}{4}$ и $\cos \frac{\pi}{4}$.

• $\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = 1$,
• $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставляем эти значения в формулу:

$$f’\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2 \cdot 1 \cdot \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2}.$$

Упростим выражение:

$$f’\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2 \cdot \frac{2}{2}} = \frac{1}{2} : \frac{4}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{2} = \frac{4}{4} = 1.$$

Ответ: $k = 1$.

б) $f(x) = \cos^2 x$ и $a = \frac{\pi}{12}$

Шаг 1: Нахождение производной

Для функции $f(x) = \cos^2 x$ будем использовать цепное правило:

• Внешняя функция $f(u) = u^2$, где $u = \cos x$,
• Внутренняя функция $u = \cos x$.

Сначала найдём производную от внешней функции:

$$\frac{d}{du}(u^2) = 2u.$$

Теперь дифференцируем внутреннюю функцию $u = \cos x$:

$$\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x.$$

Таким образом, применяя цепное правило, получаем:

$$f'(x) = 2 \cdot \cos x \cdot (-\sin x) = -2 \cos x \sin x.$$

Можно использовать тригонометрическую формулу для удвоенного угла:

$$f'(x) = -\sin(2x).$$

Шаг 2: Вычисление производной в точке $a = \frac{\pi}{12}$

Теперь подставим $x = \frac{\pi}{12}$ в выражение для производной:

$$f’\left(\frac{\pi}{12}\right) = -\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{12}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right).$$

Знаем, что $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$, следовательно:

$$f’\left(\frac{\pi}{12}\right) = -\frac{1}{2}.$$

Ответ: $k = -\frac{1}{2}$.

в) $f(x) = \operatorname{ctg}^4 x$ и $a = \frac{\pi}{4}$

Шаг 1: Нахождение производной

Для функции $f(x) = \operatorname{ctg}^4 x$ будем использовать цепное правило:

• Внешняя функция $f(u) = u^4$, где $u = \operatorname{ctg} x$,
• Внутренняя функция $u = \operatorname{ctg} x$.

Сначала найдём производную от внешней функции:

$$\frac{d}{du}(u^4) = 4u^3.$$

Теперь дифференцируем внутреннюю функцию $u = \operatorname{ctg} x$:

$$\frac{d}{dx}(\operatorname{ctg} x) = -\frac{1}{\sin^2 x}.$$

Применяя цепное правило, получаем:

$$f'(x) = 4 \cdot \operatorname{ctg}^3 x \cdot \left( -\frac{1}{\sin^2 x} \right) = -\frac{4 \cdot \operatorname{ctg}^3 x}{\sin^2 x}.$$

Шаг 2: Вычисление производной в точке $a = \frac{\pi}{4}$

Теперь подставим $x = \frac{\pi}{4}$ в выражение для производной. Для этого нужно найти значения $\operatorname{ctg} \frac{\pi}{4}$ и $\sin \frac{\pi}{4}$.

• $\operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} = 1$,
• $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставляем эти значения в формулу для производной:

$$f’\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{4 \cdot 1^3}{\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2} = -\frac{4}{\frac{2}{2}} = -4 \cdot \frac{4}{2} = -\frac{16}{2} = -8.$$

Ответ: $k = -8$.

г) $f(x) = \sqrt{2 — \sin x}$ и $a = \frac{\pi}{2}$

Шаг 1: Нахождение производной

Для функции $f(x) = \sqrt{2 — \sin x}$ будем использовать цепное правило:

• Внешняя функция $f(u) = \sqrt{u}$, где $u = 2 — \sin x$,
• Внутренняя функция $u = 2 — \sin x$.

Сначала найдём производную от внешней функции $\sqrt{u}$:

$$\frac{d}{du}(\sqrt{u}) = \frac{1}{2\sqrt{u}}.$$

Теперь дифференцируем внутреннюю функцию $u = 2 — \sin x$:

$$\frac{d}{dx}(2 — \sin x) = -\cos x.$$

Применяя цепное правило, получаем:

$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2 — \sin x}} \cdot (-\cos x) = -\frac{\cos x}{2\sqrt{2 — \sin x}}.$$

Шаг 2: Вычисление производной в точке $a = \frac{\pi}{2}$

Теперь подставим $x = \frac{\pi}{2}$ в выражение для производной:

$$f’\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\cos \frac{\pi}{2}}{2\sqrt{2 — \sin \frac{\pi}{2}}} = -\frac{0}{2\sqrt{2 — 1}} = 0.$$

Ответ: $k = 0$.