ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.9 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а)

$$f(x) = \begin{cases} x^2 — 1, & \text{если } |x| \geq 1; \\ 1 — x^2, & \text{если } |x| < 1; \end{cases}$$

Производная:

$$f'( |x| \geq 1 ) = (x^2)’ — (1)’ = 2x — 0 = 2x;$$ $$f'( |x| < 1 ) = (1)’ — (x^2)’ = 0 — 2x = -2x;$$

Значения производной:

$$f'(-2) = 2x = 2 \cdot (-2) = -4;$$ $$f'(0) = -2x = -2 \cdot 0 = 0;$$ $$f'(3) = 2x = 2 \cdot 3 = 6;$$

Ответ: $-4; 0; 6.$

б)

$$f(x) = \begin{cases} x^2 + 2, & \text{если } x \geq 0; \\ 2 — x^2, & \text{если } x < 0; \end{cases}$$

Производная:

$$f'(x \geq 0) = (x^2)’ + (2)’ = 2x + 0 = 2x;$$ $$f'(x < 0) = (2)’ — (x^2)’ = 0 — 2x = -2x;$$

Значения производной:

$$f'(-1) = -2x = -2 \cdot (-1) = 2;$$ $$f'(0) = 2x = 2 \cdot 0 = 0;$$ $$f'(2) = 2x = 2 \cdot 2 = 4;$$

Ответ: $2; 0; 4.$

в)

$$f(x) = \begin{cases} -3x, & \text{если } x \leq 0; \\ \sqrt{5x}, & \text{если } x > 0; \end{cases}$$

Производная:

$$f'(x \leq 0) = -3(x)’ = -3;$$ $$f'(x > 0) = (\sqrt{5x})’ = \frac{5}{2\sqrt{5x}};$$

Значения производной:

$$f'(-1) = -3;$$ $$f'(1) = \frac{5}{2\sqrt{5x}} = \frac{5}{2\sqrt{5 \cdot 1}} = \frac{5}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2};$$ $$f'(5) = \frac{5}{2\sqrt{5x}} = \frac{5}{2\sqrt{5 \cdot 5}} = \frac{5}{2\sqrt{25}} = \frac{5}{2 \cdot 5} = \frac{1}{2};$$

Ответ: $-3; \frac{\sqrt{5}}{2}; \frac{1}{2}.$

г)

$$f(x) = \begin{cases} \sqrt{4 — 2x}, & \text{если } x \leq 2; \\ x — 2, & \text{если } x > 2; \end{cases}$$

Производная:

$$f'(x \leq 2) = (\sqrt{4 — 2x})’ = -\frac{2}{2\sqrt{4 — 2x}} = -\frac{1}{\sqrt{4 — 2x}};$$ $$f'(x > 2) = (x — 2)’ = 1;$$

Значения производной:

$$f'(-2) = -\frac{1}{\sqrt{4 — 2x}} = -\frac{1}{\sqrt{4 + 4}} = -\frac{1}{\sqrt{8}} = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4};$$ $$f'(2) = -\frac{1}{\sqrt{4 — 2x}} = -\frac{1}{\sqrt{4 — 4}} = -\frac{1}{\sqrt{0}} \quad \text{(не существует)};$$ $$f'(5) = 1;$$

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{4}; \text{нет}; 1.$

а)

$$f(x) = \begin{cases} x^2 — 1, & \text{если } |x| \geq 1; \\ 1 — x^2, & \text{если } |x| < 1; \end{cases}$$

Шаг 1: Нахождение производной в разных областях

Для этой функции, которая задана кусочно, нам нужно найти производные в двух областях: когда $|x| \geq 1$ и когда $|x| < 1$.

Для $|x| \geq 1$, функция $f(x) = x^2 — 1$:

Производная от $x^2 — 1$ по $x$ будет:

$$f'(x) = (x^2)’ — (1)’ = 2x — 0 = 2x.$$

Для $|x| < 1$, функция $f(x) = 1 — x^2$:

Производная от $1 — x^2$ по $x$ будет:

$$f'(x) = (1)’ — (x^2)’ = 0 — 2x = -2x.$$

Шаг 2: Вычисление значений производной в точках

Теперь вычислим значения производной в точках:

В точке $x = -2$:

Для $|x| \geq 1$ используем производную $f'(x) = 2x$. Подставляем $x = -2$:

$$f'(-2) = 2 \cdot (-2) = -4.$$

В точке $x = 0$:

Для $|x| < 1$ используем производную $f'(x) = -2x$. Подставляем $x = 0$:

$$f'(0) = -2 \cdot 0 = 0.$$

В точке $x = 3$:

Для $|x| \geq 1$ используем производную $f'(x) = 2x$. Подставляем $x = 3$:

$$f'(3) = 2 \cdot 3 = 6.$$

Ответ: $-4; 0; 6$.

б)

$$f(x) = \begin{cases} x^2 + 2, & \text{если } x \geq 0; \\ 2 — x^2, & \text{если } x < 0; \end{cases}$$

Шаг 1: Нахождение производной в разных областях

Для $x \geq 0$, функция $f(x) = x^2 + 2$:

Производная от $x^2 + 2$ по $x$ будет:

$$f'(x) = (x^2)’ + (2)’ = 2x + 0 = 2x.$$

Для $x < 0$, функция $f(x) = 2 — x^2$:

Производная от $2 — x^2$ по $x$ будет:

$$f'(x) = (2)’ — (x^2)’ = 0 — 2x = -2x.$$

Шаг 2: Вычисление значений производной в точках

Теперь вычислим значения производной в точках:

В точке $x = -1$:

Для $x < 0$ используем производную $f'(x) = -2x$. Подставляем $x = -1$:

$$f'(-1) = -2 \cdot (-1) = 2.$$

В точке $x = 0$:

Для $x \geq 0$ используем производную $f'(x) = 2x$. Подставляем $x = 0$:

$$f'(0) = 2 \cdot 0 = 0.$$

В точке $x = 2$:

Для $x \geq 0$ используем производную $f'(x) = 2x$. Подставляем $x = 2$:

$$f'(2) = 2 \cdot 2 = 4.$$

Ответ: $2; 0; 4$.

в)

$$f(x) = \begin{cases} -3x, & \text{если } x \leq 0; \\ \sqrt{5x}, & \text{если } x > 0; \end{cases}$$

Шаг 1: Нахождение производной в разных областях

Для $x \leq 0$, функция $f(x) = -3x$:

Производная от $-3x$ по $x$ будет:

$$f'(x) = -3.$$

Для $x > 0$, функция $f(x) = \sqrt{5x}$:

Производная от $\sqrt{5x}$ по $x$ будет:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{5x}) = \frac{5}{2\sqrt{5x}}.$$

Шаг 2: Вычисление значений производной в точках

Теперь вычислим значения производной в точках:

В точке $x = -1$:

Для $x \leq 0$ используем производную $f'(x) = -3$. Подставляем $x = -1$:

$$f'(-1) = -3.$$

В точке $x = 1$:

Для $x > 0$ используем производную $f'(x) = \frac{5}{2\sqrt{5x}}$. Подставляем $x = 1$:

$$f'(1) = \frac{5}{2\sqrt{5 \cdot 1}} = \frac{5}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2}.$$

В точке $x = 5$:

Для $x > 0$ используем производную $f'(x) = \frac{5}{2\sqrt{5x}}$. Подставляем $x = 5$:

$$f'(5) = \frac{5}{2\sqrt{5 \cdot 5}} = \frac{5}{2\sqrt{25}} = \frac{5}{2 \cdot 5} = \frac{1}{2}.$$

Ответ: $-3; \frac{\sqrt{5}}{2}; \frac{1}{2}$.

г)

$$f(x) = \begin{cases} \sqrt{4 — 2x}, & \text{если } x \leq 2; \\ x — 2, & \text{если } x > 2; \end{cases}$$

Шаг 1: Нахождение производной в разных областях

Для $x \leq 2$, функция $f(x) = \sqrt{4 — 2x}$:

Производная от $\sqrt{4 — 2x}$ по $x$ будет:

$$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{4 — 2x} \right) = \frac{-2}{2\sqrt{4 — 2x}} = -\frac{1}{\sqrt{4 — 2x}}.$$

Для $x > 2$, функция $f(x) = x — 2$:

Производная от $x — 2$ по $x$ будет:

$$f'(x) = 1.$$

Шаг 2: Вычисление значений производной в точках

Теперь вычислим значения производной в точках:

В точке $x = -2$:

Для $x \leq 2$ используем производную $f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{4 — 2x}}$. Подставляем $x = -2$:

$$f'(-2) = -\frac{1}{\sqrt{4 — 2(-2)}} = -\frac{1}{\sqrt{4 + 4}} = -\frac{1}{\sqrt{8}} = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}.$$

В точке $x = 2$:

Для $x \leq 2$ вычисляем производную $f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{4 — 2x}}$, но подставить $x = 2$ невозможно, так как выражение для производной будет делить на ноль, а это означает, что производная в этой точке не существует.

В точке $x = 5$:

Для $x > 2$ используем производную $f'(x) = 1$. Подставляем $x = 5$:

$$f'(5) = 1.$$

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{4}; \text{не существует}; 1$.