ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.19 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что заданная функция убывает:

а) $y = 7 \cos x — 5 \sin 3x — 22x$ на $(-\infty; +\infty)$;

б) $y = 3 \cos 7x — 8 \sin \frac{x}{2} — 25x + 1$ на $(-\infty; +\infty)$

Функция убывает на всей числовой прямой, если ее производная неположительна при любом допустимом значении $x$;

а) $y = 7 \cos x — 5 \sin 3x — 22x$ на $(-\infty; +\infty)$;

$y’ = 7(\cos x)’ — 5(\sin 3x)’ — (22x)’$;

$y’ = 7(-\sin x) — 5 \cdot 3 \cos 3x — 22 = -7 \sin x — 15 \cos 3x — 22$;

$-7 \leq 7 \sin x \leq 7$;

$-15 \leq 15 \cos 3x \leq 15$;

$22 = 7 + 15$, значит $y’ \leq 0$ при любом значении $x$;

б) $y = 3 \cos 7x — 8 \sin \frac{x}{2} — 25x + 1$ на $(-\infty; +\infty)$;

$y’ = 3(\cos 7x)’ — 8 \left( \sin \frac{x}{2} \right)’ — (25x — 1)’$;

$y’ = 3 \cdot 7(-\sin 7x) — 8 \cdot \frac{1}{2} \cos \frac{x}{2} — 25 = -21 \sin 7x — 4 \cos \frac{x}{2} — 25$;

$-21 \leq 21 \sin 7x \leq 21$;

$-4 \leq 4 \cos \frac{x}{2} \leq 4$;

$25 = 21 + 4$, значит $y’ \leq 0$ при любом значении $x$.

а) $y = 7 \cos x — 5 \sin 3x — 22x$, область: $(-\infty; +\infty)$

Шаг 1: Найдём производную функции $y$

Функция состоит из трёх слагаемых:

• $7 \cos x$
• $-5 \sin 3x$
• $-22x$

Найдём производные по правилам дифференцирования:

1. $\frac{d}{dx}[7 \cos x] = 7 \cdot (-\sin x) = -7 \sin x$
2. $\frac{d}{dx}[-5 \sin 3x] = -5 \cdot \frac{d}{dx}[\sin 3x] = -5 \cdot 3 \cos 3x = -15 \cos 3x$
3. $\frac{d}{dx}[-22x] = -22$

Итак:

$$y’ = -7 \sin x — 15 \cos 3x — 22$$

Шаг 2: Найдём максимальные и минимальные значения тригонометрических выражений

• $\sin x \in [-1, 1]$, значит:
  $-7 \sin x \in [-7, 7]$
• $\cos 3x \in [-1, 1]$, значит:
  $-15 \cos 3x \in [-15, 15]$

Шаг 3: Оценим сумму слагаемых в производной

$$y’ = -7 \sin x — 15 \cos 3x — 22$$

Теперь найдём наибольшее возможное значение производной, то есть когда:

• $\sin x = -1 \Rightarrow -7 \sin x = 7$
• $\cos 3x = -1 \Rightarrow -15 \cos 3x = 15$

Наибольшее значение производной:

$$y’ \leq 7 + 15 — 22 = 0$$

Наименьшее значение производной:

• $\sin x = 1 \Rightarrow -7 \sin x = -7$
• $\cos 3x = 1 \Rightarrow -15 \cos 3x = -15$

$$y’ \geq -7 -15 -22 = -44$$

Вывод по пункту (а):

Так как $y’ \leq 0$ при любом $x$, функция убывает на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$.

б) $y = 3 \cos 7x — 8 \sin \frac{x}{2} — 25x + 1$, область: $(-\infty; +\infty)$

Шаг 1: Найдём производную функции $y$

Функция состоит из четырёх слагаемых:

• $3 \cos 7x$
• $-8 \sin \frac{x}{2}$
• $-25x$
• $+1$ — производная от константы равна нулю

По правилам:

1. $\frac{d}{dx}[3 \cos 7x] = 3 \cdot (-\sin 7x) \cdot 7 = -21 \sin 7x$
2. $\frac{d}{dx}[-8 \sin \frac{x}{2}] = -8 \cdot \frac{1}{2} \cos \frac{x}{2} = -4 \cos \frac{x}{2}$
3. $\frac{d}{dx}[-25x] = -25$

Итак:

$$y’ = -21 \sin 7x — 4 \cos \frac{x}{2} — 25$$

Шаг 2: Оценим каждое слагаемое

• $\sin 7x \in [-1, 1] \Rightarrow -21 \sin 7x \in [-21, 21]$
• $\cos \frac{x}{2} \in [-1, 1] \Rightarrow -4 \cos \frac{x}{2} \in [-4, 4]$

Шаг 3: Оценим сумму

Наибольшее значение производной:

• $\sin 7x = -1 \Rightarrow -21 \sin 7x = 21$
• $\cos \frac{x}{2} = -1 \Rightarrow -4 \cos \frac{x}{2} = 4$

$$y’ \leq 21 + 4 — 25 = 0$$

Наименьшее значение производной:

• $\sin 7x = 1 \Rightarrow -21 \sin 7x = -21$
• $\cos \frac{x}{2} = 1 \Rightarrow -4 \cos \frac{x}{2} = -4$

$$y’ \geq -21 -4 -25 = -50$$

Вывод по пункту (б):

Так как $y’ \leq 0$ при любом $x$, функция убывает на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$.