ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.5 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

На рис. 106, 107, 108 изображены графики производных $y = f'(x)$, $y = g'(x)$, $y = h'(x)$. Определите, какая из функций $y = f(x)$, $y = g(x)$, $y = h(x)$:

а) возрастает на $\mathbb{R}$;
б) убывает на $\mathbb{R}$.

1. Рисунок 106.
   Производная функции положительна на всей числовой прямой, значит функция возрастает на $R$;
2. Рисунок 107.
   Производная функции не имеет постоянного знака на всей числовой прямой, значит функция не монотонна;
3. Рисунок 108.
   Производная функции отрицательна на всей числовой прямой, значит функция убывает на $R$;

Ответ: а) $y = f(x)$; б) $y = h(x)$.

На рисунках 106, 107, 108 изображены графики производных следующих функций:

• $y = f'(x)$
• $y = g'(x)$
• $y = h'(x)$

Нужно определить, какая из первообразных функций $y = f(x)$, $y = g(x)$, $y = h(x)$:

а) возрастает на всей числовой прямой $\mathbb{R}$;
б) убывает на всей числовой прямой $\mathbb{R}$.

Теоретическая база

1. Связь между производной и возрастанием/убыванием функции:

Для любой дифференцируемой функции $y = f(x)$:

• Если $f'(x) > 0$ на всём промежутке, то $f(x)$ возрастает на этом промежутке.
• Если $f'(x) < 0$ на всём промежутке, то $f(x)$ убывает на этом промежутке.
• Если $f'(x)$ меняет знак (положительный ↔ отрицательный), то $f(x)$ не монотонна.

1) Рисунок 106: график функции $y = f'(x)$

Анализ:

• График производной находится выше оси $x$ для всех $x \in \mathbb{R}$, то есть $f'(x) > 0$ при всех $x$.
• Это означает, что производная положительна всюду.

Вывод:

• По правилу выше: если $f'(x) > 0$ для всех $x$, то функция $f(x)$ возрастает на всей числовой прямой $\mathbb{R}$.

2) Рисунок 107: график функции $y = g'(x)$

Анализ:

• График пересекает ось $x$, находится то выше, то ниже оси $x$, т.е. $g'(x)$ принимает как положительные, так и отрицательные значения.
• Это означает, что производная меняет знак на $\mathbb{R}$.

Вывод:

• Поскольку $g'(x)$ не имеет постоянного знака, то $g(x)$ не является монотонной функцией — на каких-то участках она возрастает, на других — убывает.

3) Рисунок 108: график функции $y = h'(x)$

Анализ:

• График производной лежит полностью ниже оси $x$, то есть $h'(x) < 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$.
• Это означает, что производная отрицательна всюду.

Вывод:

• По правилу: если $h'(x) < 0$ для всех $x$, то функция $h(x)$ убывает на всей числовой прямой $\mathbb{R}$.

Окончательный ответ:

а) Возрастает на $\mathbb{R}$: $y = f(x)$ (график 106)

б) Убывает на $\mathbb{R}$: $y = h(x)$ (график 108)