ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.62 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:

а) $y=\mathrm{\mid }{x}^3-3x\mathrm{\mid }$

б) $y=\mathrm{\mid }x-x^3\mathrm{\mid }$

а) $y=\mathrm{\mid }{x}^3-3x\mathrm{\mid }$

$x^3-3x\ge 0$;

$$x(x^2-3)\ge 0;$$$$(x+\sqrt{3})\cdot x\cdot (x-\sqrt{3})\ge 0;$$$$-\sqrt{3}\le x\le 0\text{ или }x\ge \sqrt{3};$$

По определению модуля числа:

$$y=\{\begin{array}{ll}{x}^3-3x,& \text{если }-\sqrt{3}\le x\le 0\text{ или }x\ge \sqrt{3};\\ 3x-x^3,& \text{если }x<-\sqrt{3}\text{ или }0<x<\sqrt{3}\mathrm{.}\end{array}$$

Первая функция:

$$y^{\mathrm{\prime }}=(x^3{)}^{\mathrm{\prime }}-(3x{)}^{\mathrm{\prime }}=3x^2-3;$$

Промежуток возрастания:

$$3x^2-3\ge 0;$$$$x^2-1\ge 0;$$$$x^2\ge 1,\text{ отсюда }x\le -1\text{ и }x\ge 1;$$

Вторая функция:

$$y^{\mathrm{\prime }}=(3x{)}^{\mathrm{\prime }}-(x^3{)}^{\mathrm{\prime }}=3-3x^2;$$

Промежуток возрастания:

$$3-3x^2\ge 0;$$$$1-x^2\ge 0;$$$$1\ge x^2,\text{ отсюда }-1\le x\le 1;$$

Ответ:
Возрастает на $[-\sqrt{3};-1]\cup [0;1]\cup [\sqrt{3};+\mathrm{\infty })$;
Убывает на $(-\mathrm{\infty };-\sqrt{3}]\cup [-1;0]\cup [1;\sqrt{3}]$;
$x=-1$ и $x=1$ — точки максимума;
$x=-\sqrt{3}$, $x=0$ и $x=\sqrt{3}$ — точки минимума.

б) $y=\mathrm{\mid }x-x^3\mathrm{\mid }$

$x-x^3\ge 0$;

$$x(1-x^2)\ge 0;$$$$x(1-x)(1+x)\ge 0;$$$$x\le -1\text{ или }0\le x\le 1;$$

По определению модуля числа:

$$y=\{\begin{array}{ll}x-x^3,& \text{если }x\le -1\text{ или }0\le x\le 1;\\ x^3-x,& \text{если }-1<x<0\text{ или }x>1.\end{array}$$

Первая функция:

$$y^{\mathrm{\prime }}=(x{)}^{\mathrm{\prime }}-(x^3{)}^{\mathrm{\prime }}=1-3x^2;$$

Промежуток возрастания:

$$1-3x^2\ge 0;$$$$1\ge 3x^2;$$$$x\le \frac{1}{\sqrt{3}},\text{ отсюда }-\frac{1}{\sqrt{3}}<x<\frac{1}{\sqrt{3}};$$

Вторая функция:

$$y^{\mathrm{\prime }}=(x^3{)}^{\mathrm{\prime }}-(x{)}^{\mathrm{\prime }}=3x^2-1;$$

Промежуток возрастания:

$$3x^2-1\ge 0;$$$$3x^2\ge 1;$$$$x^2\ge \frac{1}{3},\text{ отсюда }x\le -\frac{1}{\sqrt{3}}\text{ или }x\ge \frac{1}{\sqrt{3}};$$

Ответ:
Возрастает на $[-1;-\frac{1}{\sqrt{3}}]\cup [0;\frac{1}{\sqrt{3}}]\cup [1;+\mathrm{\infty })$;
Убывает на $(-\mathrm{\infty };-1]\cup [-\frac{1}{\sqrt{3}};0]\cup [\frac{1}{\sqrt{3}};1]$;
$x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $x=\frac{1}{\sqrt{3}}$ — точки максимума;
$x=-1$, $x=0$, $x=1$ — точки минимума.

а) $y=\mathrm{\mid }{x}^3-3x\mathrm{\mid }$

1) Определение промежутков для модуля

Чтобы определить, как выглядит функция, необходимо понять, где выражение $x^3-3x$ положительно или отрицательно. Разберем неравенство:

$$x^3-3x\ge 0.$$

Это можно записать как:

$$x(x^2-3)\ge 0.$$

Теперь нужно решить это неравенство. Сначала найдем нули функции $x^3-3x$:

$$x(x^2-3)=0.$$

Решение этого уравнения: $x=0$ или $x^2=3$, что даёт $x=\pm \sqrt{3}$.

Теперь разобьем ось $x$ на интервалы, используя эти корни: $(-\mathrm{\infty };-\sqrt{3})$, $(-\sqrt{3};0)$, $(0;\sqrt{3})$, и $(\sqrt{3};+\mathrm{\infty })$.

Для каждого из этих интервалов проверим знак выражения $x(x^2-3)$:

• $x\in (-\mathrm{\infty };-\sqrt{3})$: на этом интервале все множители $x$, $x-\sqrt{3}$, и $x+\sqrt{3}$ отрицательны, поэтому выражение будет положительным.
• $x\in (-\sqrt{3};0)$: здесь $x$ отрицателен, а $x^2-3$ также отрицателен, так что выражение отрицательно.
• $x\in (0;\sqrt{3})$: $x$ положителен, но $x^2-3$ отрицательно, поэтому выражение тоже отрицательно.
• $x\in (\sqrt{3};+\mathrm{\infty })$: все множители положительные, поэтому выражение положительно.

Итак, выражение $x(x^2-3)\ge 0$ выполняется на интервалах:

$$(-\mathrm{\infty };-\sqrt{3}]\cup [\sqrt{3};+\mathrm{\infty })\mathrm{.}$$

Это означает, что функция будет положительной или нулевой на этих интервалах и отрицательной на промежутке $(-\sqrt{3};\sqrt{3})$.

2) Разбиение на случаи по определению модуля

Теперь, когда мы знаем, где выражение $x^3-3x$ меняет знак, можем применить определение модуля:

$$y=\{\begin{array}{ll}{x}^3-3x,& \text{если }x\ge \sqrt{3}\text{ или }x\le -\sqrt{3},\\ -(x^3-3x),& \text{если }-\sqrt{3}<x<\sqrt{3}\mathrm{.}\end{array}$$

3) Нахождение производных для каждой функции

• Для функции $y=x^3-3x$ на интервалах $(-\mathrm{\infty };-\sqrt{3}]$ и $[\sqrt{3};+\mathrm{\infty })$:Производная:

  $$y^{\mathrm{\prime }}=(x^3{)}^{\mathrm{\prime }}-(3x{)}^{\mathrm{\prime }}=3x^2-3.$$

  Это квадратичная функция, и она возрастает, когда:

  $$3x^2-3\ge 0\Rightarrow x^2\ge 1\Rightarrow x\le -1\text{ или }x\ge 1.$$

  То есть, функция возрастает на $(-\mathrm{\infty };-1]\cup [1;+\mathrm{\infty })$ и убывает на $[-1;1]$.

• Для функции $y=-(x^3-3x)$ на интервале $(-\sqrt{3};\sqrt{3})$:Производная:

  $$y^{\mathrm{\prime }}=-(3x^2-3)=-3(x^2-1)=-3(x-1)(x+1)\mathrm{.}$$

  Эта производная меняет знак в точках $x=-1$ и $x=1$, что дает:

  • Функция возрастает на интервале $(-1;1)$ и убывает на интервалах $(-\mathrm{\infty };-1]$ и $[1;+\mathrm{\infty })$.

4) Промежутки возрастания и убывания:

• Функция возрастает на интервалах $[-\sqrt{3};-1]$, $[1;\sqrt{3}]$, и $[\sqrt{3};+\mathrm{\infty })$.
• Функция убывает на интервалах $(-\mathrm{\infty };-\sqrt{3}]$, $[-1;0]$, и $[0;1]$.

5) Точки экстремума:

• Точки экстремума находятся там, где производная меняет знак:
  • $x=-1$ и $x=1$ — точки максимума;
  • $x=-\sqrt{3}$, $x=0$ и $x=\sqrt{3}$ — точки минимума.

Ответ:

• Функция возрастает на $[-\sqrt{3};-1]\cup [0;1]\cup [\sqrt{3};+\mathrm{\infty })$;
• Функция убывает на $(-\mathrm{\infty };-\sqrt{3}]\cup [-1;0]\cup [1;\sqrt{3}]$;
• Точки максимума: $x=-1$ и $x=1$;
• Точки минимума: $x=-\sqrt{3}$, $x=0$, и $x=\sqrt{3}$.

б) $y=\mathrm{\mid }x-x^3\mathrm{\mid }$

1) Определение промежутков для модуля

Рассмотрим выражение $x-x^3$. Разберем неравенство:

$$x-x^3\ge 0.$$

Выносим $x$ за скобки:

$$x(1-x^2)\ge 0.$$

Далее, факторизуем:

$$x(1-x)(1+x)\ge 0.$$

Это неравенство выполнено, когда:

$$x\le -1\text{или}0\le x\le 1.$$

То есть, функция меняет знак на интервалах $(-\mathrm{\infty };-1]$, $[0;1]$, и $(1;+\mathrm{\infty })$.

2) Разбиение на случаи по определению модуля

Теперь применим определение модуля:

$$y=\{\begin{array}{ll}x-x^3,& \text{если }x\le -1\text{ или }0\le x\le 1;\\ x^3-x,& \text{если }-1<x<0\text{ или }x>1.\end{array}$$

3) Нахождение производных для каждой функции

• Для функции $y=x-x^3$ на интервалах $(-\mathrm{\infty };-1]$ и $[0;1]$:Производная:

  $$y^{\mathrm{\prime }}=(x{)}^{\mathrm{\prime }}-(x^3{)}^{\mathrm{\prime }}=1-3x^2\mathrm{.}$$

  Промежуток возрастания:

  $$1-3x^2\ge 0\Rightarrow 1\ge 3x^2\Rightarrow x\le \frac{1}{\sqrt{3}},\text{ отсюда }-\frac{1}{\sqrt{3}}<x<\frac{1}{\sqrt{3}}\mathrm{.}$$

• Для функции $y=x^3-x$ на интервалах $-1<x<0$ и $x>1$:Производная:

  $$y^{\mathrm{\prime }}=(x^3{)}^{\mathrm{\prime }}-(x{)}^{\mathrm{\prime }}=3x^2-1.$$

  Промежуток возрастания:

  $$3x^2-1\ge 0\Rightarrow x^2\ge \frac{1}{3},\text{ отсюда }x\le -\frac{1}{\sqrt{3}}\text{ или }x\ge \frac{1}{\sqrt{3}}\mathrm{.}$$

4) Промежутки возрастания и убывания:

• Функция возрастает на интервалах $[-1;-\frac{1}{\sqrt{3}}]$, $[0;\frac{1}{\sqrt{3}}]$, и $[1;+\mathrm{\infty })$.
• Функция убывает на интервалах $(-\mathrm{\infty };-1]$, $[-\frac{1}{\sqrt{3}};0]$, и $[\frac{1}{\sqrt{3}};1]$.

5) Точки экстремума:

• Точки экстремума находятся там, где производная меняет знак:
  • $x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $x=\frac{1}{\sqrt{3}}$ — точки максимума;
  • $x=-1$, $x=0$, $x=1$ — точки минимума.

Ответ:

• Функция возрастает на $[-1;-\frac{1}{\sqrt{3}}]\cup [0;\frac{1}{\sqrt{3}}]\cup [1;+\mathrm{\infty })$;
• Функция убывает на $(-\mathrm{\infty };-1]\cup [-\frac{1}{\sqrt{3}};0]\cup [\frac{1}{\sqrt{3}};1]$;
• Точки максимума: $x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $x=\frac{1}{\sqrt{3}}$;
• Точки минимума: $x=-1$, $x=0$, $x=1$.