ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.65 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы и постройте ее график:

а) $y = x^3 — 3x^2 + 2$;

б) $y = -x^3 + 4x — 3$;

в) $y = -x^3 + 4x^2 — 3$;

г) $y = x^3 — 3x + 2$

а) $y = x^3 — 3x^2 + 2$;

$y’ = (x^3)’ — 3(x^2)’ + (2)’$;
$y’ = 3x^2 — 3 \cdot 2x + 0 = 3x^2 — 6x$;

Промежуток возрастания:
$3x^2 — 6x \geq 0$;
$3x(x — 2) \geq 0$;
$x \leq 0$ или $x \geq 2$;

Вершины функции:
$y(0) = 0^3 — 3 \cdot 0^2 + 2 = 2$;
$y(2) = 2^3 — 3 \cdot 2^2 + 2 = 8 — 12 + 2 = -2$;

Некоторые точки:

$$\begin{array}{c|c c c} x & -1 & 1 & 3 \\ \hline y & -2 & 0 & 2 \\ \end{array}$$

График функции:

Ответ: возрастает на $(-\infty; 0] \cup [2; +\infty)$ и убывает на $[0; 2]$;
$x = 0$ — точка максимума;
$x = 2$ — точка минимума.

б) $y = -x^3 + 4x — 3$;

$y’ = -(x^3)’ + (4x — 3)’ = -3x^2 + 4$;

Промежуток возрастания:
$-3x^2 + 4 \geq 0$;
$4 \geq 3x^2$;
$x^2 \leq \frac{4}{3}$;
$-\frac{2}{\sqrt{3}} \leq x \leq \frac{2}{\sqrt{3}}$;
$-1,2 \leq x \leq 1,2$;

Вершины функции:
$y(-1,2) \approx -(-1,7)^3 + 4 \cdot 1,2 — 3 \approx 1,7 — 4,8 — 3 \approx -6,1$;
$y(1,2) \approx -1,7 + 4 \cdot 1,2 — 3 \approx -1,7 + 4,8 — 3 \approx 0,1$;

Некоторые точки:

$$\begin{array}{c|c c c c} x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & -3 & -6 & -3 & 0 & -3 \\ \end{array}$$

График функции:

Ответ: возрастает на $\left[ -\frac{2}{\sqrt{3}}; \frac{2}{\sqrt{3}} \right]$ и убывает на $\left( -\infty; -\frac{2}{\sqrt{3}} \right] \cup \left[ \frac{2}{\sqrt{3}}; +\infty \right)$;
$x = \frac{2}{\sqrt{3}}$ — точка максимума;
$x = -\frac{2}{\sqrt{3}}$ — точка минимума.

в) $y = -x^3 + 4x^2 — 3$;

$y’ = -(x^3)’ + 4(x^2)’ — (3)’$;
$y’ = -3x^2 + 4 \cdot 2x — 0 = -3x^2 + 8x$;

Промежуток возрастания:
$8x — 3x^2 \geq 0$;
$x(8 — 3x) \geq 0$;
$0 \leq x \leq \frac{8}{3}$;
$0 \leq x \leq 2 \frac{2}{3}$;

Вершины функции:
$y(0) = -0^3 + 4 \cdot 0^2 — 3 = -3$;
$y\left( \frac{8}{3} \right) = -\frac{512}{27} + 4 \cdot \frac{64}{9} — 3 = \frac{-512 + 768 — 81}{27} = \frac{175}{27} = 6 \frac{13}{27}$;

Некоторые точки:

$$\begin{array}{c|c c c c c} x & -1 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline y & 2 & 0 & 5 & 6 & -3 \\ \end{array}$$

График функции:

Ответ: возрастает на $\left[ 0; 2 \frac{2}{3} \right]$ и убывает на $(-\infty; 0] \cup [0; +\infty)$;
$x = 2 \frac{2}{3}$ — точка максимума;
$x = 0$ — точка минимума.

г) $y = x^3 — 3x + 2$;

$y’ = (x^3)’ — (3x)’ + (2)’$;
$y’ = 3x^2 — 3$;

Промежуток возрастания:
$3x^2 — 3 \geq 0$;
$x^2 — 1 \geq 0$;
$x^2 \geq 1$, отсюда $x \leq -1$ или $x \geq 1$;

Вершины функции:
$y(-1) = (-1)^3 + 3 + 2 = -1 + 5 = 4$;
$y(1) = 1^3 — 3 + 2 = 1 — 1 = 0$;

Некоторые точки:

$$\begin{array}{c|c c c} x & -2 & 0 & 2 \\ \hline y & 0 & 2 & 4 \\ \end{array}$$

График функции:

Ответ: возрастает на $(-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$ и убывает на $[-1; 1]$;
$x = -1$ — точка максимума;
$x = 1$ — точка минимума.

а) $y = x^3 — 3x^2 + 2$

1. Нахождение производной:

Найдем первую производную функции $y = x^3 — 3x^2 + 2$. Для этого применим стандартные правила дифференцирования:

$$y’ = (x^3)’ — 3(x^2)’ + (2)’$$

• Производная $x^3$ по $x$ равна $3x^2$,
• Производная $-3x^2$ по $x$ равна $-6x$,
• Производная постоянной $2$ равна $0$.

Таким образом:

$$y’ = 3x^2 — 6x$$

2. Промежутки возрастания и убывания:

Теперь исследуем функцию на возрастание и убывание. Для этого нужно найти промежутки, на которых производная больше или меньше нуля. Решаем неравенство для первой производной:

$$3x^2 — 6x \geq 0$$

Выносим общий множитель:

$$3x(x — 2) \geq 0$$

Это произведение будет положительным, если оба множителя либо положительные, либо оба отрицательные. Решим неравенство:

• $3x \geq 0$ при $x \geq 0$,
• $x — 2 \geq 0$ при $x \geq 2$.

Рассматриваем знаки произведения $3x(x — 2)$:

• $x \leq 0$ или $x \geq 2$.

Итак, функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0] \cup [2; +\infty)$ и убывает на промежутке $[0; 2]$.

3. Вершины функции:

Теперь найдем значение функции в точках $x = 0$ и $x = 2$, так как в этих точках могут быть экстремумы.

• В точке $x = 0$:

$$y(0) = 0^3 — 3 \cdot 0^2 + 2 = 2$$

• В точке $x = 2$:

$$y(2) = 2^3 — 3 \cdot 2^2 + 2 = 8 — 12 + 2 = -2$$

Таким образом:

• $y(0) = 2$,
• $y(2) = -2$.

4. Некоторые точки функции:

Теперь определим значения функции для нескольких значений $x$:

• Для $x = -1$:

$$y(-1) = (-1)^3 — 3(-1)^2 + 2 = -1 — 3 + 2 = -2$$

• Для $x = 1$:

$$y(1) = 1^3 — 3 \cdot 1^2 + 2 = 1 — 3 + 2 = 0$$

• Для $x = 3$:

$$y(3) = 3^3 — 3 \cdot 3^2 + 2 = 27 — 27 + 2 = 2$$

Итак, таблица значений:

$$\begin{array}{|c|c|c|c} \hline x & -1 & 1 & 3 \\ \hline y & -2 & 0 & 2 \\ \hline \end{array}$$

5. График функции:

Функция $y = x^3 — 3x^2 + 2$ представляет собой кубическую функцию, и её график будет иметь форму, напоминающую два поворота: сначала убывающий, затем возрастает, а потом снова убывает.

Ответ:

• Функция возрастает на $(-\infty; 0] \cup [2; +\infty)$,
• Функция убывает на $[0; 2]$,
• Точка максимума: $x = 0$,
• Точка минимума: $x = 2$.

б) $y = -x^3 + 4x — 3$

1. Нахождение производной:

Найдем первую производную функции $y = -x^3 + 4x — 3$:

$$y’ = -(x^3)’ + (4x)’ — (3)’$$ $$y’ = -3x^2 + 4$$

2. Промежутки возрастания и убывания:

Теперь исследуем знак первой производной, решив неравенство для возрастания и убывания функции:

$$-3x^2 + 4 \geq 0$$

Решим это неравенство:

$$3x^2 \leq 4$$ $$x^2 \leq \frac{4}{3}$$ $$-\frac{2}{\sqrt{3}} \leq x \leq \frac{2}{\sqrt{3}}$$

Таким образом, функция возрастает на промежутке $\left[ -\frac{2}{\sqrt{3}}; \frac{2}{\sqrt{3}} \right]$ и убывает на промежутках $(-\infty; -\frac{2}{\sqrt{3}}] \cup \left[ \frac{2}{\sqrt{3}}; +\infty \right)$.

3. Вершины функции:

Для нахождения вершин функции, подставим в уравнение функции значения $x = -\frac{2}{\sqrt{3}}$ и $x = \frac{2}{\sqrt{3}}$.

• Для $x = -\frac{2}{\sqrt{3}}$:

$$y\left( -\frac{2}{\sqrt{3}} \right) \approx -(-1.7)^3 + 4 \cdot 1.2 — 3 \approx 1.7 — 4.8 — 3 \approx -6.1$$

• Для $x = \frac{2}{\sqrt{3}}$:

$$y\left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right) \approx -1.7 + 4 \cdot 1.2 — 3 \approx -1.7 + 4.8 — 3 \approx 0.1$$

4. Некоторые точки функции:

Подставим несколько значений $x$ для получения значений функции:

• Для $x = -2$:

$$y(-2) = -(-2)^3 + 4 \cdot (-2) — 3 = 8 — 8 — 3 = -3$$

• Для $x = -1$:

$$y(-1) = -(-1)^3 + 4 \cdot (-1) — 3 = 1 — 4 — 3 = -6$$

• Для $x = 0$:

$$y(0) = -(0)^3 + 4 \cdot 0 — 3 = -3$$

• Для $x = 1$:

$$y(1) = -(1)^3 + 4 \cdot 1 — 3 = -1 + 4 — 3 = 0$$

• Для $x = 2$:

$$y(2) = -(2)^3 + 4 \cdot 2 — 3 = -8 + 8 — 3 = -3$$

Таблица значений:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c} \hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & -3 & -6 & -3 & 0 & -3 \\ \hline \end{array}$$

5. График функции:

График функции будет кубическим, с двумя точками экстремума: точкой максимума при $x = \frac{2}{\sqrt{3}}$ и точкой минимума при $x = -\frac{2}{\sqrt{3}}$.

Ответ:

• Функция возрастает на $\left[ -\frac{2}{\sqrt{3}}; \frac{2}{\sqrt{3}} \right]$,
• Функция убывает на $(-\infty; -\frac{2}{\sqrt{3}}] \cup \left[ \frac{2}{\sqrt{3}}; +\infty \right)$,
• Точка максимума: $x = \frac{2}{\sqrt{3}}$,
• Точка минимума: $x = -\frac{2}{\sqrt{3}}$.

в) $y = -x^3 + 4x^2 — 3$

1. Нахождение производной:

Найдем первую производную функции $y = -x^3 + 4x^2 — 3$:

$$y’ = -(x^3)’ + 4(x^2)’ — (3)’$$ $$y’ = -3x^2 + 8x$$

2. Промежутки возрастания и убывания:

Теперь решим неравенство для первой производной:

$$-3x^2 + 8x \geq 0$$ $$x(8 — 3x) \geq 0$$

Это произведение будет положительным, если оба множителя либо положительные, либо оба отрицательные. Решим неравенство:

• $x \geq 0$,
• $8 — 3x \geq 0$, отсюда $x \leq \frac{8}{3}$.

Таким образом, функция возрастает на промежутке $[0; 2 \frac{2}{3}]$ и убывает на промежутке $(-\infty; 0] \cup [2 \frac{2}{3}; +\infty)$.

3. Вершины функции:

Теперь определим значения функции на концах промежутков и в критических точках.

• В точке $x = 0$:

$$y(0) = -0^3 + 4 \cdot 0^2 — 3 = -3$$

• В точке $x = 2 \frac{2}{3}$:

$$y\left( \frac{8}{3} \right) = -\frac{512}{27} + 4 \cdot \frac{64}{9} — 3 = \frac{-512 + 768 — 81}{27} = \frac{175}{27} \approx 6 \frac{13}{27}$$

4. Некоторые точки функции:

Подставим несколько значений $x$ для получения значений функции:

• Для $x = -1$:

$$y(-1) = -(-1)^3 + 4 \cdot (-1)^2 — 3 = 1 + 4 — 3 = 2$$

• Для $x = 1$:

$$y(1) = -(1)^3 + 4 \cdot 1^2 — 3 = -1 + 4 — 3 = 0$$

• Для $x = 2$:

$$y(2) = -(2)^3 + 4 \cdot 2^2 — 3 = -8 + 16 — 3 = 5$$

• Для $x = 3$:

$$y(3) = -(3)^3 + 4 \cdot 3^2 — 3 = -27 + 36 — 3 = 6$$

• Для $x = 4$:

$$y(4) = -(4)^3 + 4 \cdot 4^2 — 3 = -64 + 64 — 3 = -3$$

Таблица значений:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c} \hline x & -1 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline y & 2 & 0 & 5 & 6 & -3 \\ \hline \end{array}$$

5. График функции:

Функция $y = -x^3 + 4x^2 — 3$ имеет кубическую форму с двумя точками экстремума: точка максимума в $x = 2 \frac{2}{3}$ и точка минимума в $x = 0$.

Ответ:

• Функция возрастает на $[0; 2 \frac{2}{3}]$,
• Функция убывает на $(-\infty; 0] \cup [2 \frac{2}{3}; +\infty)$,
• Точка максимума: $x = 2 \frac{2}{3}$,
• Точка минимума: $x = 0$.

г) $y = x^3 — 3x + 2$

1. Нахождение производной:

Найдем первую производную функции $y = x^3 — 3x + 2$:

$$y’ = (x^3)’ — (3x)’ + (2)’$$ $$y’ = 3x^2 — 3$$

2. Промежутки возрастания и убывания:

Решим неравенство для первой производной:

$$3x^2 — 3 \geq 0$$ $$x^2 — 1 \geq 0$$ $$x^2 \geq 1, \text{ отсюда } x \leq -1 \text{ или } x \geq 1$$

Это означает, что функция возрастает на промежутке $(-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$ и убывает на промежутке $[-1; 1]$.

3. Вершины функции:

Теперь определим значения функции в точках экстремума $x = -1$ и $x = 1$:

• В точке $x = -1$:

$$y(-1) = (-1)^3 — 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4$$

• В точке $x = 1$:

$$y(1) = 1^3 — 3 \cdot 1 + 2 = 1 — 3 + 2 = 0$$

4. Некоторые точки функции:

Подставим несколько значений $x$ для получения значений функции:

• Для $x = -2$:

$$y(-2) = (-2)^3 — 3(-2) + 2 = -8 + 6 + 2 = 0$$

• Для $x = 0$:

$$y(0) = 0^3 — 3 \cdot 0 + 2 = 2$$

• Для $x = 2$:

$$y(2) = 2^3 — 3 \cdot 2 + 2 = 8 — 6 + 2 = 4$$

Таблица значений:

$$\begin{array}{|c|c|c|c} \hline x & -2 & 0 & 2 \\ \hline y & 0 & 2 & 4 \\ \hline \end{array}$$

5. График функции:

Функция $y = x^3 — 3x + 2$ является кубической функцией с двумя точками экстремума: точкой максимума при $x = -1$ и точкой минимума при $x = 1$.

Ответ:

• Функция возрастает на $(-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$,
• Функция убывает на $[-1; 1]$,
• Точка максимума: $x = -1$,
• Точка минимума: $x = 1$.