ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 45.10 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Исследуйте функцию и постройте ее график:

а) $f(x) = \frac{x}{\sqrt{1 — x^2}}$;

б) $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 — 1}}$

а) $f(x) = \frac{x}{\sqrt{1 — x^2}}$;

$f'(x) = \frac{(x)'(\sqrt{1 — x^2}) — x(\sqrt{1 — x^2})’}{1 — x^2} = \frac{\sqrt{1 — x^2} — x \cdot (-2x) \cdot \frac{1}{2\sqrt{1 — x^2}}}{1 — x^2} =$

$= \frac{\sqrt{1 — x^2} + \frac{x^2}{\sqrt{1 — x^2}}}{1 — x^2} = \frac{1 — x^2 + x^2}{(1 — x^2) \cdot \sqrt{1 — x^2}} = \frac{1}{(1 — x^2) \cdot \sqrt{1 — x^2}};$

Область определения функции:
$1 — x^2 > 0, \text{ отсюда } -1 < x < 1;$
$D(f) = (-1; 1);$

Исследуем функцию на четность:
$f(-x) = \frac{-x}{\sqrt{1 — (-x)^2}} = -\frac{x}{\sqrt{1 — x^2}} = -f(x) — \text{нечетная};$

Уравнения асимптот:
$x = \pm 1;$
$y = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{1 — x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{1}{x^2} — 1}} = \frac{0}{\sqrt{0 — 1}} — \text{не существует};$

Промежутки монотонности:
$\frac{1}{(1 — x^2) \cdot \sqrt{1 — x^2}} \geq 0;$
$1 — x^2 \geq 0;$
$1 \geq x^2, \text{ отсюда } -1 \leq x \leq 1;$
Возрастает на $(-1; 1)$;

Координаты точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 0.5 & 0.75 \\ \hline y & 0 & 0.6 & 1.1 \\ \hline \end{array}$$

График функции:

б) $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 — 1}}$;

$f'(x) = \frac{(x)'(\sqrt{x^2 — 1}) — x(\sqrt{x^2 — 1})’}{x^2 — 1} = \frac{\sqrt{x^2 — 1} — x \cdot 2x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2 — 1}}}{x^2 — 1} =$

$= \frac{\sqrt{x^2 — 1} — \frac{x^2}{\sqrt{x^2 — 1}}}{x^2 — 1} = \frac{x^2 — 1 — x^2}{(x^2 — 1) \cdot \sqrt{x^2 — 1}} = \frac{-1}{(x^2 — 1) \cdot \sqrt{x^2 — 1}};$

Область определения функции:
$x^2 — 1 > 0, \text{ отсюда } x < -1 \text{ или } x > 1;$
$D(f) = (-\infty; -1) \cup (1; +\infty);$

Исследуем функцию на четность:
$f(-x) = \frac{-x}{\sqrt{(-x)^2 — 1}} = -\frac{x}{\sqrt{x^2 — 1}} = -f(x) — \text{нечетная};$

Уравнения асимптот:
$x = \pm 1;$
$y = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 — 1}} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{(x — 1)(x + 1)}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\sqrt{\left(1 — \frac{1}{x}\right)\left(1 + \frac{1}{x}\right)}} =$

$= \frac{1}{\sqrt{(1 — 0)(1 + 0)}} = \frac{1}{\sqrt{1}} = \pm 1;$

Промежутки монотонности:
$\frac{-1}{(x^2 — 1) \cdot \sqrt{x^2 — 1}} \geq 0;$
$-(x^2 — 1) \geq 0;$
$x^2 — 1 \leq 0;$
$x^2 \leq 1, \text{ отсюда } -1 \leq x \leq 1;$
Убывает на $(-∞; -1) \cup (1; +∞)$;

Координаты точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 1.2 & 1.5 & 2 \\ \hline y & 1.8 & 1.3 & 1.1 \\ \hline \end{array}$$

График функции:

а) $f(x) = \frac{x}{\sqrt{1 — x^2}}$

1. Нахождение производной функции

Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{x}{\sqrt{1 — x^2}}$ используем правило дифференцирования дроби. Правило для производной функции вида $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$ имеет вид:

$$f'(x) = \frac{u'(x)v(x) — u(x)v'(x)}{v(x)^2}$$

Здесь $u(x) = x$ и $v(x) = \sqrt{1 — x^2}$.

Производная числителя:

$$u'(x) = 1$$

Производная знаменателя:

Для нахождения производной от $v(x) = \sqrt{1 — x^2}$ используем правило дифференцирования составных функций. Пусть $g(x) = 1 — x^2$, тогда $v(x) = \sqrt{g(x)}$. По правилу дифференцирования корня:

$$v'(x) = \frac{1}{2\sqrt{g(x)}} \cdot g'(x)$$

Где $g'(x) = -2x$. Подставляем это в выражение для производной:

$$v'(x) = \frac{1}{2\sqrt{1 — x^2}} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{1 — x^2}}$$

Теперь, подставляем все найденные производные в формулу для производной дроби:

$$f'(x) = \frac{1 \cdot \sqrt{1 — x^2} — x \cdot \left( \frac{-x}{\sqrt{1 — x^2}} \right)}{( \sqrt{1 — x^2})^2}$$

Упростим:

$$f'(x) = \frac{\sqrt{1 — x^2} + \frac{x^2}{\sqrt{1 — x^2}}}{1 — x^2}$$

Приводим к общему знаменателю в числителе:

$$f'(x) = \frac{(1 — x^2) + x^2}{(1 — x^2)\sqrt{1 — x^2}} = \frac{1}{(1 — x^2)\sqrt{1 — x^2}}$$

Таким образом, производная функции:

$$f'(x) = \frac{1}{(1 — x^2)\sqrt{1 — x^2}}$$

2. Область определения функции

Область определения функции $f(x) = \frac{x}{\sqrt{1 — x^2}}$ заключается в том, что знаменатель $\sqrt{1 — x^2}$ должен быть действительным числом. Это возможно, если $1 — x^2 \geq 0$, что даёт неравенство:

$$x^2 \leq 1$$

Таким образом, $x \in (-1, 1)$.

Ответ:

$$D(f) = (-1; 1)$$

3. Проверка функции на четность

Проверим, является ли функция четной или нечетной. Для этого вычислим $f(-x)$:

$$f(-x) = \frac{-x}{\sqrt{1 — (-x)^2}} = \frac{-x}{\sqrt{1 — x^2}} = -f(x)$$

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ:

Функция нечетная.

4. Асимптоты

Найдём асимптоты функции. Рассмотрим асимптоты, связанные с поведением функции при $x \to \pm 1$.

При $x \to 1$ и $x \to -1$, выражение в знаменателе $\sqrt{1 — x^2}$ стремится к нулю, и функция стремится к бесконечности. Это означает, что есть вертикальные асимптоты в точках $x = 1$ и $x = -1$.

Также, для $x \to \infty$ или $x \to -\infty$, функция стремится к нулю:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{1 — x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{1}{x^2} — 1}} = \frac{0}{\sqrt{0 — 1}} \quad \text{не существует.}$$

Ответ:

Вертикальные асимптоты: $x = \pm 1$.

5. Промежутки монотонности

Для исследования промежутков монотонности изучим знак производной $f'(x) = \frac{1}{(1 — x^2)\sqrt{1 — x^2}}$.

Так как числитель всегда положителен (он равен 1), знак производной зависит от знака знаменателя $(1 — x^2)\sqrt{1 — x^2}$. Поскольку $1 — x^2 > 0$ на интервале $(-1, 1)$, производная $f'(x)$ всегда положительна. Следовательно, функция возрастает на интервале $(-1, 1)$.

Ответ:

Функция возрастает на $(-1; 1)$.

6. Координаты точек

Для вычисления координат точек подставим значения $x$ в функцию $f(x) = \frac{x}{\sqrt{1 — x^2}}$:

• При $x = 0$:

$$f(0) = \frac{0}{\sqrt{1 — 0^2}} = 0$$

• При $x = 0.5$:

$$f(0.5) = \frac{0.5}{\sqrt{1 — 0.5^2}} = \frac{0.5}{\sqrt{1 — 0.25}} = \frac{0.5}{\sqrt{0.75}} \approx 0.6$$

• При $x = 0.75$:

$$f(0.75) = \frac{0.75}{\sqrt{1 — 0.75^2}} = \frac{0.75}{\sqrt{1 — 0.5625}} = \frac{0.75}{\sqrt{0.4375}} \approx 1.1$$

Ответ:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 0.5 & 0.75 \\ \hline y & 0 & 0.6 & 1.1 \\ \hline \end{array}$$

7. График функции

б) $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 — 1}}$

1. Нахождение производной функции

Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 — 1}}$ также используем правило дифференцирования дроби:

$$f'(x) = \frac{u'(x)v(x) — u(x)v'(x)}{v(x)^2}$$

Здесь $u(x) = x$ и $v(x) = \sqrt{x^2 — 1}$.

Производная числителя:

$$u'(x) = 1$$

Производная знаменателя:

Для нахождения производной от $v(x) = \sqrt{x^2 — 1}$, используем правило дифференцирования составных функций. Пусть $g(x) = x^2 — 1$, тогда $v(x) = \sqrt{g(x)}$. По правилу:

$$v'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 — 1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 — 1}}$$

Теперь подставим все производные в формулу для производной дроби:

$$f'(x) = \frac{1 \cdot \sqrt{x^2 — 1} — x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 — 1}}}{( \sqrt{x^2 — 1})^2}$$

Упростим:

$$f'(x) = \frac{\sqrt{x^2 — 1} — \frac{x^2}{\sqrt{x^2 — 1}}}{x^2 — 1}$$

Приводим к общему знаменателю в числителе:

$$f'(x) = \frac{x^2 — 1 — x^2}{(x^2 — 1)\sqrt{x^2 — 1}} = \frac{-1}{(x^2 — 1)\sqrt{x^2 — 1}}$$

Таким образом, производная функции:

$$f'(x) = \frac{-1}{(x^2 — 1)\sqrt{x^2 — 1}}$$

2. Область определения функции

Область определения функции $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 — 1}}$ заключается в том, что знаменатель $\sqrt{x^2 — 1}$ должен быть действительным числом, то есть:

$$x^2 — 1 > 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 > 1$$

Таким образом, $x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$.

Ответ:

$$D(f) = (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$$

3. Проверка функции на четность

Проверим, является ли функция четной или нечетной. Для этого вычислим $f(-x)$:

$$f(-x) = \frac{-x}{\sqrt{(-x)^2 — 1}} = -\frac{x}{\sqrt{x^2 — 1}} = -f(x)$$

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ:

Функция нечетная.

4. Асимптоты

Найдём асимптоты функции. Рассмотрим асимптоты, связанные с поведением функции при $x \to \pm \infty$.

При $x \to 1$ и $x \to -1$, выражение в знаменателе $\sqrt{x^2 — 1}$ стремится к нулю, и функция стремится к бесконечности. Это означает, что есть вертикальные асимптоты в точках $x = 1$ и $x = -1$.

Также, для $x \to \infty$ или $x \to -\infty$, функция стремится к 1:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 — 1}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\left(1 — \frac{1}{x^2}\right)}} = 1$$

Ответ:

Вертикальные асимптоты: $x = \pm 1$. Горизонтальная асимптота: $y = 1$.

5. Промежутки монотонности

Для исследования промежутков монотонности исследуем знак производной $f'(x) = \frac{-1}{(x^2 — 1)\sqrt{x^2 — 1}}$.

Так как числитель всегда отрицателен, знак производной зависит от знака знаменателя $(x^2 — 1)\sqrt{x^2 — 1}$. Поскольку $x^2 — 1 > 0$ на интервалах $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$, производная $f'(x)$ всегда отрицательна. Следовательно, функция убывает на этих интервалах.

Ответ:

Функция убывает на $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$.

6. Координаты точек

Для вычисления координат точек подставим значения $x$ в функцию $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 — 1}}$:

• При $x = 1.2$:

$$f(1.2) = \frac{1.2}{\sqrt{1.2^2 — 1}} = \frac{1.2}{\sqrt{1.44 — 1}} = \frac{1.2}{\sqrt{0.44}} \approx 1.8$$

• При $x = 1.5$:

$$f(1.5) = \frac{1.5}{\sqrt{1.5^2 — 1}} = \frac{1.5}{\sqrt{2.25 — 1}} = \frac{1.5}{\sqrt{1.25}} \approx 1.3$$

• При $x = 2$:

$$f(2) = \frac{2}{\sqrt{2^2 — 1}} = \frac{2}{\sqrt{4 — 1}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.1$$

Ответ:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 1.2 & 1.5 & 2 \\ \hline y & 1.8 & 1.3 & 1.1 \\ \hline \end{array}$$

7. График функции