ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 45.15 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $3\sqrt{x+1}=-x^3+3x^2+6$

б) $x^3-3x=(x+1{)}^6+2$

а) Уравнение: $3\sqrt{x+1} = -x^3 + 3x^2 + 6$

Левая часть:

Для функции $f(x) = 3\sqrt{x+1}$, ее производная:
$f'(x) = 3 \cdot \left( \sqrt{x+1} \right)’ = \frac{3}{2\sqrt{x+1}}$

Область определения:

$$x + 1 \geq 0, \text{ отсюда } x \geq -1 \quad \Rightarrow \quad D(f) = [-1; +\infty)$$

Промежутки монотонности:
Функция возрастает на интервале $[-1; +\infty)$.

Координаты точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 & 3 & 8 \\ \hline y & 0 & 3 & 6 & 9 \\ \hline \end{array}$$

Правая часть:

Для функции $g(x) = -x^3 + 3x^2 + 6$, ее производная:

$$g'(x) = -3x^2 + 6x = 6x — 3x^2$$

Промежутки монотонности:
Решаем неравенство $6x — 3x^2 \geq 0$:

$$3x(2 — x) \geq 0 \quad \Rightarrow \quad 0 \leq x \leq 2$$

Функция возрастает на интервале $[0; 2]$ и убывает на интервалах $(-\infty; 0] \cup [2; +\infty)$.

Стационарные точки:

$$y_{\text{max}} = f(2) = -8 + 12 + 6 = 10$$ $$y_{\text{min}} = f(0) = 6$$

Координаты точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 1 & 3 \\ \hline y & 10 & 8 & 6 \\ \hline \end{array}$$

Ответ: $x = 3$

б) Уравнение: $x^3 — 3x = (x+1)^6 + 2$

Левая часть:

Для функции $f(x) = x^3 — 3x$, ее производная:

$$f'(x) = 3x^2 — 3$$

Промежутки монотонности:
Решаем неравенство $3x^2 — 3 \geq 0$:

$$x^2 — 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq -1 \text{ или } x \geq 1$$

Функция возрастает на интервалах $(-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$ и убывает на интервале $[-1; 1]$.

Стационарные точки:

$$y_{\text{max}} = f(-1) = 2, \quad y_{\text{min}} = f(1) = -2$$

Координаты точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -2 & 0 & 2 \\ \hline y & -2 & 0 & 2 \\ \hline \end{array}$$

Правая часть:

Для функции $g(x) = (x+1)^6 + 2$, ее производная:

$$g'(x) = 6(x+1)^5$$

Промежутки монотонности:
Решаем неравенство $6(x+1)^5 \geq 0$:

$$x + 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -1$$

Функция возрастает на интервале $[-1; +\infty)$ и убывает на интервале $(-\infty; -1]$.

Стационарные точки:

$$y_{\text{min}} = f(-1) = 2$$

Координаты точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -2 & 0 & 0.5 \\ \hline y & 3 & 3 & 13.4 \\ \hline \end{array}$$

Ответ: $x = -1$

а) Уравнение:

$$3\sqrt{x+1} = -x^3 + 3x^2 + 6$$

Шаг 1: Анализ левой части уравнения.

Функция:

$$f(x) = 3\sqrt{x+1}$$

Для нахождения производной этой функции, будем использовать цепное правило. Сначала найдем производную от $\sqrt{x+1}$. Напоминаем, что производная функции $\sqrt{u}$ по $u$ равна $\frac{1}{2\sqrt{u}}$, где $u = x + 1$.

Производная $f(x)$ по $x$:

$$f'(x) = 3 \cdot \left( \sqrt{x+1} \right)’ = 3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+1}} = \frac{3}{2\sqrt{x+1}}$$

Теперь найдем область определения функции $f(x) = 3\sqrt{x+1}$.

Область определения:
Чтобы $\sqrt{x+1}$ была определена, необходимо, чтобы $x + 1 \geq 0$, то есть $x \geq -1$.

Таким образом, область определения:

$$D(f) = [-1; +\infty)$$

Промежутки монотонности:
Производная функции $f'(x) = \frac{3}{2\sqrt{x+1}}$ положительна для всех $x \geq -1$, так как в числителе 3, а знаменатель $2\sqrt{x+1}$ всегда положителен при $x \geq -1$.

Следовательно, функция возрастает на интервале $[-1; +\infty)$.

Координаты точек:
Для удобства составим таблицу значений функции $f(x) = 3\sqrt{x+1}$ в некоторых точках:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 & 3 & 8 \\ \hline f(x) & 0 & 3 & 6 & 9 \\ \hline \end{array}$$

Точки для графика функции $f(x)$ на интервале $[-1; +\infty)$ могут быть использованы для построения графика.

Шаг 2: Анализ правой части уравнения.

Функция:

$$g(x) = -x^3 + 3x^2 + 6$$

Для нахождения производной этой функции, используем стандартные правила дифференцирования:

Производная $g(x)$ по $x$:

$$g'(x) = -(x^3)’ + 3(x^2)’ + (6)’ = -3x^2 + 6x = 6x — 3x^2$$

Промежутки монотонности:
Теперь анализируем, на каких интервалах функция возрастает или убывает.

Решим неравенство $g'(x) = 6x — 3x^2 \geq 0$:

$$6x — 3x^2 \geq 0$$

Вынесем общий множитель $3x$:

$$3x(2 — x) \geq 0$$

Это неравенство выполняется, когда $x \in [0; 2]$ или $x \in (-\infty; 0]$.

Так что:

• Функция возрастает на интервале $[0; 2]$,
• Функция убывает на интервалах $(-\infty; 0] \cup [2; +\infty)$.

Стационарные точки:
Найдем значения функции в стационарных точках, где производная равна нулю. Для этого решим $g'(x) = 0$:

$$6x — 3x^2 = 0$$

Вынесем общий множитель $3x$:

$$3x(2 — x) = 0$$

Это дает два решения: $x = 0$ и $x = 2$.

Теперь подставим эти значения в исходную функцию $g(x)$ для нахождения максимума и минимума.

Для $x = 0$:

$$g(0) = -(0)^3 + 3(0)^2 + 6 = 6$$

Для $x = 2$:

$$g(2) = -(2)^3 + 3(2)^2 + 6 = -8 + 12 + 6 = 10$$

Таким образом, стационарные точки:

• $y_{\text{max}} = 10$ при $x = 2$,
• $y_{\text{min}} = 6$ при $x = 0$.

Координаты точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 1 & 3 \\ \hline y & 10 & 8 & 6 \\ \hline \end{array}$$

Теперь мы знаем координаты точек и промежутки монотонности для функции $g(x)$.

Шаг 3: Решение уравнения $3\sqrt{x+1} = -x^3 + 3x^2 + 6$.

Графически, мы видим, что на интервале $[-1; +\infty)$, левая функция возрастает, а правая функция имеет экстремумы на $x = 0$ и $x = 2$.

Мы можем рассмотреть, что в точке $x = 3$ обе функции пересекаются:

Для $x = 3$ подставляем в обе функции:

Левая часть:

$$3\sqrt{3+1} = 3\sqrt{4} = 3 \cdot 2 = 6$$

Правая часть:

$$-(3)^3 + 3(3)^2 + 6 = -27 + 27 + 6 = 6$$

Обе функции равны 6 при $x = 3$, поэтому решение уравнения:

$$x = 3$$

б) Уравнение:

$$x^3 — 3x = (x+1)^6 + 2$$

Шаг 1: Анализ левой части уравнения.

Функция:

$$f(x) = x^3 — 3x$$

Для нахождения производной функции $f(x)$, дифференцируем её по $x$:

$$f'(x) = (x^3)’ — (3x)’ = 3x^2 — 3$$

Промежутки монотонности:
Решим неравенство $f'(x) = 3x^2 — 3 \geq 0$:

$$x^2 — 1 \geq 0$$ $$(x — 1)(x + 1) \geq 0$$

Это неравенство выполняется, когда $x \leq -1$ или $x \geq 1$. Таким образом, функция:

• возрастает на интервалах $(-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$,
• убывает на интервале $[-1; 1]$.

Стационарные точки:
Найдем значения функции в стационарных точках $x = -1$ и $x = 1$.

Для $x = -1$:

$$f(-1) = (-1)^3 — 3(-1) = -1 + 3 = 2$$

Для $x = 1$:

$$f(1) = (1)^3 — 3(1) = 1 — 3 = -2$$

Таким образом:

• $y_{\text{max}} = 2$ при $x = -1$,
• $y_{\text{min}} = -2$ при $x = 1$.

Координаты точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -2 & 0 & 2 \\ \hline y & -2 & 0 & 2 \\ \hline \end{array}$$

Шаг 2: Анализ правой части уравнения.

Функция:

$$g(x) = (x+1)^6 + 2$$

Для нахождения производной функции $g(x)$, дифференцируем её по $x$:

$$g'(x) = 6(x+1)^5$$

Промежутки монотонности:
Решаем неравенство $g'(x) = 6(x+1)^5 \geq 0$:

$$(x+1)^5 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -1$$

Таким образом, функция:

• возрастает на интервале $[-1; +\infty)$,
• убывает на интервале $(-\infty; -1]$.

Стационарные точки:
Для $x = -1$:

$$g(-1) = (0)^6 + 2 = 2$$

Координаты точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -2 & 0 & 0.5 \\ \hline y & 3 & 3 & 13.4 \\ \hline \end{array}$$

Шаг 3: Решение уравнения $x^3 — 3x = (x+1)^6 + 2$.

Решая графически или численно, видим, что при $x = -1$ обе функции равны:

Для $x = -1$:

Левая часть:

$$f(-1) = (-1)^3 — 3(-1) = 2$$

Правая часть:

$$g(-1) = (0)^6 + 2 = 2$$

Таким образом, решение уравнения:

$$x = -1$$