ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 45.6 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Исследуйте функцию и постройте ее график:

а) $f(x) = \frac{x^2 — 1}{x^2 + 1}$;

б) $f(x) = \frac{x^2 — 4}{x^2 + 4}$

а) $f(x) = \frac{x^2 — 1}{x^2 + 1}$;

$$f'(x) = \frac{(x^2 — 1)'(x^2 + 1) — (x^2 — 1)(x^2 + 1)’}{(x^2 + 1)^2};$$ $$f'(x) = \frac{2x(x^2 + 1) — (x^2 — 1) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x^3 + 2x — 2x^3 + 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2}.$$

Область определения функции:

$$x^2 + 1 \neq 0, \text{ отсюда } x^2 \neq -1;$$ $$D(f) = (-\infty; +\infty);$$

Исследуем функцию на четность:

$$f(-x) = \frac{(-x)^2 — 1}{(-x)^2 + 1} = \frac{x^2 — 1}{x^2 + 1} \quad \text{— четная};$$

Уравнения асимптот:

$$y = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 — 1}{x^2 + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 — \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} = \frac{1 — 0}{1 + 0} = 1;$$

Промежутки монотонности:

$$\frac{4x}{(x^2 + 1)^2} \geq 0;$$ $$4x \geq 0, \text{ отсюда } x \geq 0;$$

Возрастает на $[0; +\infty)$ и убывает на $(-∞; 0]$;

Стационарные точки:

$$y_{\text{min}} = f(0) = \frac{0^2 — 1}{0^2 + 1} = \frac{-1}{1} = -1;$$

Координаты точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & 0 & 0,6 & 0,8 \\ \hline \end{array}$$

График функции:

б) $f(x) = \frac{x^2 — 4}{x^2 + 4}$;

$$f'(x) = \frac{(x^2 — 4)'(x^2 + 4) — (x^2 — 4)(x^2 + 4)’}{(x^2 + 4)^2};$$ $$f'(x) = \frac{2x(x^2 + 4) — (x^2 — 4) \cdot 2x}{(x^2 + 4)^2} = \frac{2x^3 + 8x — 2x^3 + 8x}{(x^2 + 4)^2} = \frac{16x}{(x^2 + 4)^2}.$$

Область определения функции:

$$x^2 + 4 \neq 0, \text{ отсюда } x^2 \neq -4;$$ $$D(f) = (-\infty; +\infty);$$

Исследуем функцию на четность:

$$f(-x) = \frac{(-x)^2 — 4}{(-x)^2 + 4} = \frac{x^2 — 4}{x^2 + 4} \quad \text{— четная};$$

Уравнения асимптот:

$$y = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 — 4}{x^2 + 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 — \frac{4}{x^2}}{1 + \frac{4}{x^2}} = \frac{1 — 0}{1 + 0} = 1;$$

Промежутки монотонности:

$$\frac{16x}{(x^2 + 4)^2} \geq 0;$$ $$16x \geq 0, \text{ отсюда } x \geq 0;$$

Возрастает на $[0; +\infty)$ и убывает на $(-∞; 0]$;

Стационарные точки:

$$y_{\text{min}} = f(0) = \frac{0^2 — 4}{0^2 + 4} = \frac{-4}{4} = -1;$$

Координаты точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 5 \\ \hline y & -0,6 & 0 & 0,4 & 0,7 \\ \hline \end{array}$$

График функции:

а) $f(x) = \frac{x^2 — 1}{x^2 + 1}$

1. Производная функции:

Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{x^2 — 1}{x^2 + 1}$, используем правило дифференцирования дроби (правило частного). Правило частного гласит, что производная функции вида $\frac{u(x)}{v(x)}$ будет:

$$f'(x) = \frac{u'(x)v(x) — u(x)v'(x)}{v(x)^2}$$

где $u(x) = x^2 — 1$ и $v(x) = x^2 + 1$.

Производная числителя $u(x)$:

$$u'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 — 1) = 2x$$

Производная знаменателя $v(x)$:

$$v'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x$$

Теперь подставляем эти значения в формулу для производной:

$$f'(x) = \frac{2x(x^2 + 1) — (x^2 — 1) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}$$

Раскроем скобки и упростим:

$$f'(x) = \frac{2x^3 + 2x — 2x^3 + 2x}{(x^2 + 1)^2}$$ $$f'(x) = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2}$$

Таким образом, производная функции:

$$f'(x) = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2}$$

2. Область определения функции:

Для нахождения области определения функции $f(x) = \frac{x^2 — 1}{x^2 + 1}$, необходимо, чтобы знаменатель $x^2 + 1$ не был равен нулю. Рассмотрим:

$$x^2 + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = -1$$

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. Следовательно, знаменатель никогда не равен нулю, и функция определена для всех $x \in \mathbb{R}$.

Область определения:

$$D(f) = (-\infty; +\infty)$$

3. Исследуем функцию на четность:

Проверим, является ли функция четной. Для этого вычислим $f(-x)$ и сравним с $f(x)$.

$$f(-x) = \frac{(-x)^2 — 1}{(-x)^2 + 1} = \frac{x^2 — 1}{x^2 + 1} = f(x)$$

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

4. Уравнения асимптот:

• Вертикальная асимптота: Функция может иметь вертикальную асимптоту, если знаменатель равен нулю. Однако $x^2 + 1 = 0$ не имеет действительных решений, следовательно, вертикальной асимптоты нет.
• Горизонтальная асимптота: Чтобы найти горизонтальную асимптоту, вычислим предел функции при $x \to \infty$ и $x \to -\infty$:

  $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 — 1}{x^2 + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 — \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} = \frac{1 — 0}{1 + 0} = 1$$

  Таким образом, горизонтальная асимптота: $y = 1$.

5. Промежутки монотонности:

Для нахождения промежутков монотонности исследуем знак производной $f'(x)$:

$$f'(x) = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2}$$

Знаменатель всегда положителен, так как $(x^2 + 1)^2 > 0$ для всех $x$. Следовательно, знак производной зависит от числителя:

$$4x \geq 0$$

Отсюда:

$$x \geq 0$$

Функция возрастает на интервале $[0; +\infty)$ и убывает на интервале $(-\infty; 0]$.

6. Стационарные точки:

Для нахождения стационарных точек приравняем производную к нулю:

$$f'(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad 4x = 0$$

Таким образом, стационарная точка находится при $x = 0$.

Найдем значение функции в этой точке:

$$y_{\text{min}} = f(0) = \frac{0^2 — 1}{0^2 + 1} = \frac{-1}{1} = -1$$

7. Координаты точек:

Рассчитаем значения функции для нескольких значений $x$:

Для $x = 1$:

$$f(1) = \frac{1^2 — 1}{1^2 + 1} = \frac{0}{2} = 0$$

Для $x = 2$:

$$f(2) = \frac{2^2 — 1}{2^2 + 1} = \frac{3}{5} = 0.6$$

Для $x = 3$:

$$f(3) = \frac{3^2 — 1}{3^2 + 1} = \frac{8}{10} = 0.8$$

Таблица координат:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & 0 & 0.6 & 0.8 \\ \hline \end{array}$$

8. График функции:

б) $f(x) = \frac{x^2 — 4}{x^2 + 4}$

1. Производная функции:

Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{x^2 — 4}{x^2 + 4}$, также используем правило частного:

$$f'(x) = \frac{(x^2 — 4)'(x^2 + 4) — (x^2 — 4)(x^2 + 4)’}{(x^2 + 4)^2}$$

Производные числителя и знаменателя:

$$(x^2 — 4)’ = 2x, \quad (x^2 + 4)’ = 2x$$

Подставляем:

$$f'(x) = \frac{2x(x^2 + 4) — (x^2 — 4) \cdot 2x}{(x^2 + 4)^2}$$

Раскроем скобки:

$$f'(x) = \frac{2x^3 + 8x — 2x^3 + 8x}{(x^2 + 4)^2} = \frac{16x}{(x^2 + 4)^2}$$

2. Область определения функции:

Функция $f(x) = \frac{x^2 — 4}{x^2 + 4}$ определена, когда знаменатель $x^2 + 4$ не равен нулю:

$$x^2 + 4 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 \neq -4$$

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. Следовательно, функция определена для всех $x \in \mathbb{R}$.

Область определения:

$$D(f) = (-\infty; +\infty)$$

3. Исследуем функцию на четность:

Проверим, является ли функция четной:

$$f(-x) = \frac{(-x)^2 — 4}{(-x)^2 + 4} = \frac{x^2 — 4}{x^2 + 4} = f(x)$$

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

4. Уравнения асимптот:

• Вертикальная асимптота: Знаменатель $x^2 + 4$ никогда не равен нулю, следовательно, вертикальных асимптот нет.
• Горизонтальная асимптота: Для нахождения горизонтальной асимптоты вычислим предел функции при $x \to \infty$ и $x \to -\infty$:

  $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 — 4}{x^2 + 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 — \frac{4}{x^2}}{1 + \frac{4}{x^2}} = \frac{1 — 0}{1 + 0} = 1$$

  Таким образом, горизонтальная асимптота: $y = 1$.

5. Промежутки монотонности:

Для нахождения промежутков монотонности исследуем знак производной $f'(x)$:

$$f'(x) = \frac{16x}{(x^2 + 4)^2}$$

Знаменатель всегда положителен, так как $(x^2 + 4)^2 > 0$ для всех $x$. Следовательно, знак производной зависит от числителя:

$$16x \geq 0$$

Отсюда:

$$x \geq 0$$

Функция возрастает на интервале $[0; +\infty)$ и убывает на интервале $(-\infty; 0]$.

6. Стационарные точки:

Приравняем производную к нулю:

$$f'(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad 16x = 0$$

Таким образом, стационарная точка находится при $x = 0$.

Найдем значение функции в этой точке:

$$y_{\text{min}} = f(0) = \frac{0^2 — 4}{0^2 + 4} = \frac{-4}{4} = -1$$

7. Координаты точек:

Для $x = 1$:

$$f(1) = \frac{1^2 — 4}{1^2 + 4} = \frac{1 — 4}{1 + 4} = \frac{-3}{5} = -0.6$$

Для $x = 2$:

$$f(2) = \frac{2^2 — 4}{2^2 + 4} = \frac{4 — 4}{4 + 4} = \frac{0}{8} = 0$$

Для $x = 3$:

$$f(3) = \frac{3^2 — 4}{3^2 + 4} = \frac{9 — 4}{9 + 4} = \frac{5}{13} \approx 0.385$$

Для $x = 5$:

$$f(5) = \frac{5^2 — 4}{5^2 + 4} = \frac{25 — 4}{25 + 4} = \frac{21}{29} \approx 0.724$$

Таблица координат:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 5 \\ \hline y & -0.6 & 0 & 0.385 & 0.724 \\ \hline \end{array}$$

8. График функции: