ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 45.7 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Исследуйте функцию и постройте ее график:

а) $f(x) = \frac{x^2 + 4}{x^2 — 4}$;

б) $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 — 1}$

а) $f(x) = \frac{x^2 + 4}{x^2 — 4}$;

Область определения функции:

$$x^2 — 4 \neq 0, \text{ отсюда } x \neq \pm 2;$$ $$D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty);$$

Исследуем функцию на четность:

$$f(-x) = \frac{(-x)^2 + 4}{(-x)^2 — 4} = \frac{x^2 + 4}{x^2 — 4} \quad \text{— четная};$$

Уравнения асимптот:

$$x = \pm 2;$$ $$y = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 4}{x^2 — 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^2}}{1 — \frac{4}{x^2}} = \frac{1 + 0}{1 — 0} = 1;$$

Промежутки монотонности:

$$f'(x) = \frac{(x^2 + 4)'(x^2 — 4) — (x^2 + 4)(x^2 — 4)’}{(x^2 — 4)^2};$$ $$f'(x) = \frac{2x(x^2 — 4) — (x^2 + 4) \cdot 2x}{(x^2 — 4)^2} = \frac{2x^3 — 8x — 2x^3 — 8x}{(x^2 — 4)^2} = \frac{-16x}{(x^2 — 4)^2};$$ $$\frac{-16x}{(x^2 + 1)^2} \geq 0;$$ $$-16x \geq 0, \text{ отсюда } x \leq 0;$$ $$\text{Возрастает на } (-\infty; -2) \cup (-2; 0] \text{ и убывает на } [0; 2) \cup (2; +\infty);$$

Стационарные точки:

$$y_{\max} = f(0) = \frac{0^2 + 4}{0^2 — 4} = \frac{4}{-4} = -1;$$

Координаты точек:

$$\begin{array}{c|c c c c} x & 1 & 1.5 & 2.5 & 4 \\ \hline y & -1.6 & -3.5 & 4.5 & 1.6 \\ \end{array}$$

График функции:

б) $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 — 1}$;

Область определения функции:

$$x^2 — 1 \neq 0, \text{ отсюда } x \neq \pm 1;$$ $$D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty);$$

Исследуем функцию на четность:

$$f(-x) = \frac{(-x)^2 + 1}{(-x)^2 — 1} = \frac{x^2 + 1}{x^2 — 1} \quad \text{— четная};$$

Уравнения асимптот:

$$x = \pm 1;$$ $$y = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{x^2 — 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{1 — \frac{1}{x^2}} = \frac{1 + 0}{1 — 0} = 1;$$

Промежутки монотонности:

$$f'(x) = \frac{(x^2 + 1)'(x^2 — 1) — (x^2 + 1)(x^2 — 1)’}{(x^2 — 1)^2};$$ $$f'(x) = \frac{2x(x^2 — 1) — (x^2 + 1) \cdot 2x}{(x^2 — 1)^2} = \frac{2x^3 — 2x — 2x^3 — 2x}{(x^2 — 1)^2} = \frac{-4x}{(x^2 — 1)^2};$$ $$\frac{-4x}{(x^2 + 1)^2} \geq 0;$$ $$-4x \geq 0, \text{ отсюда } x \leq 0;$$ $$\text{Возрастает на } (-\infty; -1) \cup (-1; 0] \text{ и убывает на } [0; 1) \cup (1; +\infty);$$

Стационарные точки:

$$y_{\max} = f(0) = \frac{0^2 + 1}{0^2 — 1} = \frac{1}{-1} = -1;$$

Координаты точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c} x & 0.5 & 1.5 & 2 & 3 \\ \hline y & -1.6 & 2.6 & 1.6 & 1.25 \\ \hline \end{array}$$

График функции:

а) $f(x) = \frac{x^2 + 4}{x^2 — 4}$

1. Область определения функции:

Для того чтобы определить область определения функции $f(x) = \frac{x^2 + 4}{x^2 — 4}$, нужно, чтобы знаменатель $x^2 — 4$ не равнялся нулю. Рассмотрим уравнение:

$$x^2 — 4 = 0$$

Решаем его:

$$x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 2$$

Значит, функция не определена в точках $x = 2$ и $x = -2$.

Таким образом, область определения функции:

$$D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$$

2. Исследуем функцию на четность:

Проверим, является ли функция четной. Для этого вычислим $f(-x)$ и сравним с $f(x)$.

$$f(-x) = \frac{(-x)^2 + 4}{(-x)^2 — 4} = \frac{x^2 + 4}{x^2 — 4} = f(x)$$

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

3. Уравнения асимптот:

• Вертикальные асимптоты: Функция будет иметь вертикальные асимптоты в точках, где знаменатель равен нулю. Мы уже нашли, что $x = 2$ и $x = -2$ — это точки, в которых знаменатель $x^2 — 4 = 0$. Следовательно, вертикальные асимптоты будут в точках $x = 2$ и $x = -2$.
• Горизонтальная асимптота: Для нахождения горизонтальной асимптоты вычислим предел функции при $x \to \infty$ и $x \to -\infty$:

  $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 4}{x^2 — 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^2}}{1 — \frac{4}{x^2}} = \frac{1 + 0}{1 — 0} = 1$$

  Таким образом, горизонтальная асимптота: $y = 1$.

4. Промежутки монотонности:

Для нахождения промежутков монотонности найдем производную функции $f(x) = \frac{x^2 + 4}{x^2 — 4}$. Применим правило частного:

$$f'(x) = \frac{(x^2 + 4)'(x^2 — 4) — (x^2 + 4)(x^2 — 4)’}{(x^2 — 4)^2}$$

Производная числителя:

$$(x^2 + 4)’ = 2x$$

Производная знаменателя:

$$(x^2 — 4)’ = 2x$$

Теперь подставим эти значения в формулу для производной:

$$f'(x) = \frac{2x(x^2 — 4) — (x^2 + 4) \cdot 2x}{(x^2 — 4)^2} = \frac{2x^3 — 8x — 2x^3 — 8x}{(x^2 — 4)^2}$$

Упростим выражение:

$$f'(x) = \frac{-16x}{(x^2 — 4)^2}$$

Знаменатель всегда положителен, так как $(x^2 — 4)^2 > 0$ при $x \neq \pm 2$. Следовательно, знак производной зависит от числителя:

$$-16x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 0$$

Таким образом, функция возрастает на интервале $(-\infty; -2) \cup (-2; 0]$ и убывает на интервале $[0; 2) \cup (2; +\infty)$.

5. Стационарные точки:

Стационарные точки возникают, когда производная функции равна нулю. Приравняем производную к нулю:

$$f'(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad -16x = 0$$

Решение:

$$x = 0$$

Найдем значение функции в этой точке:

$$y_{\text{min}} = f(0) = \frac{0^2 + 4}{0^2 — 4} = \frac{4}{-4} = -1$$

6. Координаты точек:

Рассчитаем значения функции для нескольких значений $x$:

Для $x = 1$:

$$f(1) = \frac{1^2 + 4}{1^2 — 4} = \frac{5}{-3} = -\frac{5}{3} \approx -1.6667$$

Для $x = 1.5$:

$$f(1.5) = \frac{(1.5)^2 + 4}{(1.5)^2 — 4} = \frac{2.25 + 4}{2.25 — 4} = \frac{6.25}{-1.75} \approx -3.5714$$

Для $x = 2.5$:

$$f(2.5) = \frac{(2.5)^2 + 4}{(2.5)^2 — 4} = \frac{6.25 + 4}{6.25 — 4} = \frac{10.25}{2.25} \approx 4.5556$$

Для $x = 4$:

$$f(4) = \frac{4^2 + 4}{4^2 — 4} = \frac{16 + 4}{16 — 4} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3} \approx 1.6667$$

Таблица координат:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c} \hline x & 1 & 1.5 & 2.5 & 4 \\ \hline y & -1.6667 & -3.5714 & 4.5556 & 1.6667 \\ \hline \end{array}$$

7. График функции:

б) $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 — 1}$

1. Область определения функции:

Функция $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 — 1}$ определена, когда знаменатель $x^2 — 1$ не равен нулю:

$$x^2 — 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1$$

Таким образом, функция не определена при $x = 1$ и $x = -1$.

Область определения:

$$D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$$

2. Исследуем функцию на четность:

Проверим, является ли функция четной:

$$f(-x) = \frac{(-x)^2 + 1}{(-x)^2 — 1} = \frac{x^2 + 1}{x^2 — 1} = f(x)$$

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

3. Уравнения асимптот:

• Вертикальные асимптоты: Функция будет иметь вертикальные асимптоты в точках, где знаменатель равен нулю. Мы уже нашли, что $x = 1$ и $x = -1$ — это точки, в которых знаменатель $x^2 — 1 = 0$. Следовательно, вертикальные асимптоты будут в точках $x = 1$ и $x = -1$.
• Горизонтальная асимптота: Для нахождения горизонтальной асимптоты вычислим предел функции при $x \to \infty$ и $x \to -\infty$:

  $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{x^2 — 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{1 — \frac{1}{x^2}} = \frac{1 + 0}{1 — 0} = 1$$

  Таким образом, горизонтальная асимптота: $y = 1$.

4. Промежутки монотонности:

Для нахождения промежутков монотонности найдем производную функции $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 — 1}$. Применим правило частного:

$$f'(x) = \frac{(x^2 + 1)'(x^2 — 1) — (x^2 + 1)(x^2 — 1)’}{(x^2 — 1)^2}$$

Производная числителя:

$$(x^2 + 1)’ = 2x$$

Производная знаменателя:

$$(x^2 — 1)’ = 2x$$

Теперь подставим эти значения в формулу для производной:

$$f'(x) = \frac{2x(x^2 — 1) — (x^2 + 1) \cdot 2x}{(x^2 — 1)^2} = \frac{2x^3 — 2x — 2x^3 — 2x}{(x^2 — 1)^2}$$

Упростим:

$$f'(x) = \frac{-4x}{(x^2 — 1)^2}$$

Знаменатель всегда положителен, так как $(x^2 — 1)^2 > 0$ при $x \neq \pm 1$. Следовательно, знак производной зависит от числителя:

$$-4x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 0$$

Таким образом, функция возрастает на интервале $(-\infty; -1) \cup (-1; 0]$ и убывает на интервале $[0; 1) \cup (1; +\infty)$.

5. Стационарные точки:

Стационарные точки возникают, когда производная функции равна нулю. Приравняем производную к нулю:

$$f'(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad -4x = 0$$

Решение:

$$x = 0$$

Найдем значение функции в этой точке:

$$y_{\text{min}} = f(0) = \frac{0^2 + 1}{0^2 — 1} = \frac{1}{-1} = -1$$

6. Координаты точек:

Для $x = 0.5$:

$$f(0.5) = \frac{(0.5)^2 + 1}{(0.5)^2 — 1} = \frac{0.25 + 1}{0.25 — 1} = \frac{1.25}{-0.75} \approx -1.6667$$

Для $x = 1.5$:

$$f(1.5) = \frac{(1.5)^2 + 1}{(1.5)^2 — 1} = \frac{2.25 + 1}{2.25 — 1} = \frac{3.25}{1.25} = 2.6$$

Для $x = 2$:

$$f(2) = \frac{2^2 + 1}{2^2 — 1} = \frac{4 + 1}{4 — 1} = \frac{5}{3} \approx 1.6667$$

Для $x = 3$:

$$f(3) = \frac{3^2 + 1}{3^2 — 1} = \frac{9 + 1}{9 — 1} = \frac{10}{8} = 1.25$$

Таблица координат:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c} \hline x & 0.5 & 1.5 & 2 & 3 \\ \hline y & -1.6667 & 2.6 & 1.6667 & 1.25 \\ \hline \end{array}$$

7. График функции: