ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 45.9 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Исследуйте функцию и постройте ее график:

а) $f(x) = \sqrt{\frac{x-1}{x}}$;

б) $f(x) = (x-3)\sqrt{x}$

а) $f(x) = \sqrt{\frac{x-1}{x}}$;

Пусть $u = \frac{x-1}{x} = 1 — \frac{1}{x}$, тогда $f(x) = \sqrt{u}$;

$f'(x) = (\sqrt{u})’ \cdot \left(1 — \frac{1}{x}\right)’ = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x}} \cdot x^4} = \frac{1}{\sqrt{x-1} \cdot x^2};$

Область определения функции:

$$x \neq 0;$$ $$\frac{x-1}{x} \geq 0, \text{ отсюда } x \leq 0 \text{ или } x \geq 1;$$ $$D(f) = (-\infty; 0) \cup [1; +\infty);$$

Исследуем функцию на четность:

$$f(-x) = \sqrt{\frac{-x-1}{-x}} = \sqrt{\frac{x+1}{x}} — \text{нет};$$

Уравнения асимптот:

$$x = 0;$$ $$y = \lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x-1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \sqrt{1 — \frac{1}{x}} = \sqrt{1 — 0} = \sqrt{1} = 1;$$

Промежутки монотонности:

$$\text{Возрастает на } (-\infty; 0) \cup [1; +\infty);$$

Координаты точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & -0,5 & 1 & 2 & 4 \\ \hline y & 1,2 & 1,4 & 1,7 & 0 & 0,7 & 0,8 \\ \hline \end{array}$$

График функции:

б) $f(x) = (x-3)\sqrt{x}$;

$f'(x) = (x-3)’\sqrt{x} + (x-3)(\sqrt{x})’;$
$f'(x) = \sqrt{x} + \frac{x-3}{2\sqrt{x}} = \frac{2x + x — 3}{2\sqrt{x}} = \frac{3x — 3}{2\sqrt{x}};$

Область определения функции:

$$x \geq 0;$$ $$D(f) = [0; +\infty);$$

Исследуем функцию на четность:

$$f(-x) = (-x-3)\sqrt{-x} — \text{нет};$$

Уравнения асимптот:

$$y = \lim_{x \to \infty} (x-3)\sqrt{x} = +\infty — \text{не существует};$$

Промежутки монотонности:

$$\frac{3x — 3}{2\sqrt{x}} \geq 0;$$ $$3x — 3 \geq 0;$$ $$x — 1 \geq 0, \text{ отсюда } x \geq 1;$$ $$\text{Возрастает на } [1; +\infty) \text{ и убывает на } [0; 1];$$

Стационарные точки:

$$y_{\text{min}} = f(1) = (1-3)\sqrt{1} = -2 \cdot 1 = -2;$$

Координаты точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 0,25 & 3 & 4 & 5 \\ \hline y & 0 & -1,3 & 0,2 & 2 & 4,5 \\ \hline \end{array}$$

График функции:

а) $f(x) = \sqrt{\frac{x-1}{x}}$

1. Производная функции:

Для нахождения производной функции $f(x) = \sqrt{\frac{x-1}{x}}$, будем использовать цепное правило, так как функция представлена как составная (квадратный корень от дроби).

1. Пусть $u = \frac{x-1}{x}$. Тогда $f(x) = \sqrt{u}$.
2. Для нахождения производной используем формулу производной от квадратного корня:

$$\frac{d}{dx} \left( \sqrt{u} \right) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u'(x)$$

где $u'(x)$ — производная от $u = \frac{x-1}{x}$.

Теперь найдем производную $u(x) = \frac{x-1}{x}$. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования дроби (правило частного):

$$u'(x) = \frac{(x)'(x) — (x-1)(x)’}{x^2} = \frac{x — (x — 1)}{x^2} = \frac{1}{x^2}$$

Теперь подставим это значение в формулу для производной от $f(x)$:

$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x}}} \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{1}{\sqrt{x-1} \cdot x^2}$$

Таким образом, производная функции:

$$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x-1} \cdot x^2}$$

2. Область определения функции:

Функция $f(x) = \sqrt{\frac{x-1}{x}}$ определена при следующих условиях:

1. $x \neq 0$, так как деление на ноль невозможно.
2. Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным:

$$\frac{x-1}{x} \geq 0$$

Рассмотрим это неравенство:

$$\frac{x-1}{x} \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 0 \text{ или } x \geq 1$$

Таким образом, область определения функции:

$$D(f) = (-\infty; 0) \cup [1; +\infty)$$

3. Исследуем функцию на четность:

Проверим, является ли функция четной. Для этого вычислим $f(-x)$ и сравним с $f(x)$.

$$f(-x) = \sqrt{\frac{-x-1}{-x}} = \sqrt{\frac{x+1}{x}}$$

Видно, что $f(-x) \neq f(x)$, и, следовательно, функция нечетная.

4. Уравнения асимптот:

• Вертикальные асимптоты:

Для нахождения вертикальных асимптот исследуем, где знаменатель дроби равен нулю. Мы уже знаем, что $x = 0$ — это точка, в которой функция не определена. Поэтому вертикальная асимптота будет в точке $x = 0$.

• Горизонтальная асимптота:

Для нахождения горизонтальной асимптоты рассмотрим предел функции при $x \to \infty$:

$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x-1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \sqrt{1 — \frac{1}{x}} = \sqrt{1 — 0} = 1$$

Таким образом, горизонтальная асимптота: $y = 1$.

5. Промежутки монотонности:

Для нахождения промежутков монотонности исследуем знак производной $f'(x)$:

$$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x-1} \cdot x^2}$$

Знаменатель всегда положителен для $x > 1$, так как $\sqrt{x-1}$ и $x^2$ положительны. Следовательно, знак производной зависит от числителя:

$$f'(x) > 0, \quad \text{функция возрастает на} \quad [1; +\infty)$$

А на интервале $(-\infty; 0)$ функция не определена, и на интервале $(0; 1)$ она убывает.

6. Координаты точек:

Рассчитаем значения функции для нескольких значений $x$:

Для $x = -2$:

$$f(-2) = \sqrt{\frac{-2-1}{-2}} = \sqrt{\frac{-3}{-2}} = \sqrt{1.5} \approx 1.2247$$

Для $x = -1$:

$$f(-1) = \sqrt{\frac{-1-1}{-1}} = \sqrt{\frac{-2}{-1}} = \sqrt{2} \approx 1.4142$$

Для $x = -0.5$:

$$f(-0.5) = \sqrt{\frac{-0.5-1}{-0.5}} = \sqrt{\frac{-1.5}{-0.5}} = \sqrt{3} \approx 1.7321$$

Для $x = 1$:

$$f(1) = \sqrt{\frac{1-1}{1}} = \sqrt{0} = 0$$

Для $x = 2$:

$$f(2) = \sqrt{\frac{2-1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} \approx 0.7071$$

Для $x = 4$:

$$f(4) = \sqrt{\frac{4-1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} \approx 0.8660$$

Таблица координат:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & -0,5 & 1 & 2 & 4 \\ \hline y & 1,2247 & 1,4142 & 1,7321 & 0 & 0,7071 & 0,8660 \\ \hline \end{array}$$

7. График функции:

б) $f(x) = (x-3)\sqrt{x}$

1. Производная функции:

Для нахождения производной функции $f(x) = (x-3)\sqrt{x}$, используем правило произведения:

$$f'(x) = (x-3)’\sqrt{x} + (x-3)(\sqrt{x})’$$

Производная от $x-3$ равна 1:

$$(x-3)’ = 1$$

Производная от $\sqrt{x}$ равна $\frac{1}{2\sqrt{x}}$:

$$(\sqrt{x})’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Теперь подставим в формулу для производной:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=1\cdot \sqrt{x}+(x-3)\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\frac{x-3}{2\sqrt{x}}=$$

$$f'(x) = 1 \cdot \sqrt{x} + (x-3) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \sqrt{x} + \frac{x-3}{2\sqrt{x}} = \frac{2x + x — 3}{2\sqrt{x}} = \frac{3x — 3}{2\sqrt{x}}$$

2. Область определения функции:

Функция $f(x) = (x-3)\sqrt{x}$ определена, когда выражение под квадратным корнем $x \geq 0$. Таким образом, область определения функции:

$$D(f) = [0; +\infty)$$

3. Исследуем функцию на четность:

Проверим, является ли функция четной:

$$f(-x) = (-x-3)\sqrt{-x} \quad \text{— не существует для \( x \geq 0 \)};$$

Таким образом, функция не является четной.

4. Уравнения асимптот:

Для нахождения асимптот рассмотрим пределы функции при $x \to \infty$ и $x \to 0$.

• Горизонтальная асимптота:

Для $x \to \infty$ функция $(x-3)\sqrt{x}$ стремится к бесконечности, следовательно, горизонтальной асимптоты нет.

• Вертикальная асимптота:

При $x \to 0^+$, функция стремится к нулю:

$$\lim_{x \to 0^+} (x-3)\sqrt{x} = 0$$

Таким образом, вертикальной асимптоты нет.

5. Промежутки монотонности:

Для нахождения промежутков монотонности исследуем знак производной $f'(x)$:

$$f'(x) = \frac{3x — 3}{2\sqrt{x}}$$

Решим неравенство $f'(x) \geq 0$:

$$3x — 3 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 1$$

Таким образом, функция возрастает на $[1; +\infty)$ и убывает на $[0; 1]$.

6. Стационарные точки:

Стационарные точки находятся при $x = 1$, так как производная равна нулю:

$$f'(1) = 0$$

Вычислим значение функции в точке $x = 1$:

$$y_{\text{min}} = f(1) = (1-3)\sqrt{1} = -2 \cdot 1 = -2$$

7. Координаты точек:

Рассчитаем значения функции в нескольких точках:

Для $x = 0$:

$$f(0) = (0-3)\sqrt{0} = 0$$

Для $x = 0.25$:

$$f(0.25) = (0.25 — 3)\sqrt{0.25} = (-2.75)(0.5) = -1.375$$

Для $x = 3$:

$$f(3) = (3 — 3)\sqrt{3} = 0$$

Для $x = 4$:

$$f(4) = (4 — 3)\sqrt{4} = 1 \cdot 2 = 2$$

Для $x = 5$:

$$f(5) = (5 — 3)\sqrt{5} = 2 \cdot 2.236 = 4.472$$

Таблица координат:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 0.25 & 3 & 4 & 5 \\ \hline y & 0 & -1.375 & 0 & 2 & 4.472 \\ \hline \end{array}$$

8. График функции: