ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.10 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = х³ — 9х² + 24х — 1 на отрезке:

a) [-1; 3];

б) [3; 6];

в) [-2; 3];

г) [3; 5].

$y = x^3 — 9x^2 + 24x — 1$;

Производная функции:

$$y’ = (x^3)’ — 9(x^2)’ + (24x — 1)’;$$ $$y’ = 3x^2 — 9 \cdot 2x + 24 = 3x^2 — 18x + 24;$$

Стационарные точки:

$$3x^2 — 18x + 24 = 0;$$ $$x^2 — 6x + 8 = 0;$$ $$D = 6^2 — 4 \cdot 8 = 36 — 32 = 4, \text{ тогда:}$$ $$x_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4;$$

а) На отрезке $[-1; 3]$:

$$y(-1) = (-1)^3 — 9 \cdot (-1)^2 + 24 \cdot (-1) — 1 = -1 — 9 — 24 — 1 = -35;$$ $$y(2) = 2^3 — 9 \cdot 2^2 + 24 \cdot 2 — 1 = 8 — 36 + 48 — 1 = 19;$$ $$y(3) = 3^3 — 9 \cdot 3^2 + 24 \cdot 3 — 1 = 27 — 81 + 72 — 1 = 17;$$

Ответ: $y_{\min} = -35; \, y_{\max} = 19$.

б) На отрезке $[3; 6]$:

$$y(3) = 3^3 — 9 \cdot 3^2 + 24 \cdot 3 — 1 = 27 — 81 + 72 — 1 = 17;$$ $$y(4) = 4^3 — 9 \cdot 4^2 + 24 \cdot 4 — 1 = 64 — 144 + 96 — 1 = 15;$$ $$y(6) = 6^3 — 9 \cdot 6^2 + 24 \cdot 6 — 1 = 216 — 324 + 144 — 1 = 35;$$

Ответ: $y_{\min} = 15; \, y_{\max} = 35$.

в) На отрезке $[-2; 3]$:

$$y(-2) = (-2)^3 — 9 \cdot (-2)^2 + 24 \cdot (-2) — 1 = -8 — 36 — 48 — 1 = -93;$$ $$y(2) = 2^3 — 9 \cdot 2^2 + 24 \cdot 2 — 1 = 8 — 36 + 48 — 1 = 19;$$ $$y(3) = 3^3 — 9 \cdot 3^2 + 24 \cdot 3 — 1 = 27 — 81 + 72 — 1 = 17;$$

Ответ: $y_{\min} = -93; \, y_{\max} = 19$.

г) На отрезке $[3; 5]$:

$$y(3) = 3^3 — 9 \cdot 3^2 + 24 \cdot 3 — 1 = 27 — 81 + 72 — 1 = 17;$$ $$y(4) = 4^3 — 9 \cdot 4^2 + 24 \cdot 4 — 1 = 64 — 144 + 96 — 1 = 15;$$ $$y(5) = 5^3 — 9 \cdot 5^2 + 24 \cdot 5 — 1 = 125 — 225 + 120 — 1 = 19;$$

Ответ: $y_{\min} = 15; \, y_{\max} = 19$.

Нам дана функция:

$$y = x^3 — 9x^2 + 24x — 1$$

Необходимо выполнить следующие действия:

1. Найти производную функции.
2. Определить стационарные точки.
3. Найти значения функции на отрезках:
   • $[-1; 3]$
   • $[3; 6]$
   • $[-2; 3]$
   • $[3; 5]$

1. Нахождение производной функции:

Для начала найдем производную функции $y = x^3 — 9x^2 + 24x — 1$.

Используем правила дифференцирования для каждого члена:

• Производная от $x^3$ — это $3x^2$,
• Производная от $-9x^2$ — это $-18x$,
• Производная от $24x$ — это $24$,
• Производная от константы $-1$ — это 0.

Итак, производная функции будет:

$$y’ = 3x^2 — 18x + 24.$$

2. Нахождение стационарных точек:

Стационарные точки — это точки, в которых производная функции равна нулю.

Приравняем производную к нулю:

$$3x^2 — 18x + 24 = 0.$$

Чтобы решить это уравнение, сначала упростим его, разделив на 3:

$$x^2 — 6x + 8 = 0.$$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта.

Дискриминант $D$ вычисляется по формуле:

$$D = b^2 — 4ac,$$

где $a = 1$, $b = -6$, $c = 8$. Подставим значения в формулу:

$$D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4.$$

Теперь находим корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-6) — \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 — 2}{2} = 2,$$ $$x_2 = \frac{-(-6) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 2}{2} = 4.$$

Таким образом, стационарные точки находятся в точках $x = 2$ и $x = 4$.

3. Нахождение значений функции на отрезках:

а) На отрезке $[-1; 3]$:

Для этого отрезка нам нужно найти значения функции в точках $x = -1$, $x = 2$ (статическая точка, которая лежит на отрезке), и $x = 3$.

При $x = -1$:

$$y(-1)=(-1{)}^3-9\cdot (-1{)}^2+24\cdot (-1)-1=$$

$$y(-1) = (-1)^3 — 9 \cdot (-1)^2 + 24 \cdot (-1) — 1 = -1 — 9 — 24 — 1 = -35.$$

При $x = 2$:

$$y(2) = 2^3 — 9 \cdot 2^2 + 24 \cdot 2 — 1 = 8 — 36 + 48 — 1 = 19.$$

При $x = 3$:

$$y(3) = 3^3 — 9 \cdot 3^2 + 24 \cdot 3 — 1 = 27 — 81 + 72 — 1 = 17.$$

Ответ: $y_{\min} = -35$; $y_{\max} = 19$.

б) На отрезке $[3; 6]$:

Для этого отрезка нам нужно найти значения функции в точках $x = 3$, $x = 4$ (статическая точка, которая лежит на отрезке), и $x = 6$.

При $x = 3$:

$$y(3) = 3^3 — 9 \cdot 3^2 + 24 \cdot 3 — 1 = 27 — 81 + 72 — 1 = 17.$$

При $x = 4$:

$$y(4) = 4^3 — 9 \cdot 4^2 + 24 \cdot 4 — 1 = 64 — 144 + 96 — 1 = 15.$$

При $x = 6$:

$$y(6) = 6^3 — 9 \cdot 6^2 + 24 \cdot 6 — 1 = 216 — 324 + 144 — 1 = 35.$$

Ответ: $y_{\min} = 15$; $y_{\max} = 35$.

в) На отрезке $[-2; 3]$:

Для этого отрезка нам нужно найти значения функции в точках $x = -2$, $x = 2$ (статическая точка, которая лежит на отрезке), и $x = 3$.

При $x = -2$:

$$y(-2)=(-2{)}^3-9\cdot (-2{)}^2+24\cdot (-2)-1=$$

$$y(-2) = (-2)^3 — 9 \cdot (-2)^2 + 24 \cdot (-2) — 1 = -8 — 36 — 48 — 1 = -93.$$

При $x = 2$:

$$y(2) = 2^3 — 9 \cdot 2^2 + 24 \cdot 2 — 1 = 8 — 36 + 48 — 1 = 19.$$

При $x = 3$:

$$y(3) = 3^3 — 9 \cdot 3^2 + 24 \cdot 3 — 1 = 27 — 81 + 72 — 1 = 17.$$

Ответ: $y_{\min} = -93$; $y_{\max} = 19$.

г) На отрезке $[3; 5]$:

Для этого отрезка нам нужно найти значения функции в точках $x = 3$, $x = 4$ (статическая точка, которая лежит на отрезке), и $x = 5$.

При $x = 3$:

$$y(3) = 3^3 — 9 \cdot 3^2 + 24 \cdot 3 — 1 = 27 — 81 + 72 — 1 = 17.$$

При $x = 4$:

$$y(4) = 4^3 — 9 \cdot 4^2 + 24 \cdot 4 — 1 = 64 — 144 + 96 — 1 = 15.$$

При $x = 5$:

$$y(5) = 5^3 — 9 \cdot 5^2 + 24 \cdot 5 — 1 = 125 — 225 + 120 — 1 = 19.$$

Ответ: $y_{\min} = 15$; $y_{\max} = 19$.

Ответы для всех пунктов:

а) $y_{\min} = -35$; $y_{\max} = 19$.

б) $y_{\min} = 15$; $y_{\max} = 35$.

в) $y_{\min} = -93$; $y_{\max} = 19$.

г) $y_{\min} = 15$; $y_{\max} = 19$.