ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.11 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = х³ + 3х² — 45x — 2 на отрезке:

a) [-6; 0];

б) [1; 2];

в) [-6; -1];

г) [0; 2].

$y = x^3 + 3x^2 — 45x — 2$;

Производная функции:
$y’ = (x^3)’ + 3(x^2)’ — (45x + 2)’$;
$y’ = 3x^2 + 3 \cdot 2x — 45 = 3x^2 + 6x — 45$;

Стационарные точки:
$3x^2 + 6x — 45 = 0$;
$x^2 + 2x — 15 = 0$;
$D = 2^2 + 4 \cdot 15 = 4 + 60 = 64, \text{ тогда: }$
$x_1 = \frac{-2 — 8}{2} = -5 \text{ и } x_2 = \frac{-2 + 8}{2} = 3$;

а) На отрезке $[-6; 0]$:
$y(-6) = (-6)^3 + 3 \cdot (-6)^2 — 45 \cdot (-6) — 2 = -216 + 108 + 270 — 2 = 160$;
$y(-5) = (-5)^3 + 3 \cdot (-5)^2 — 45 \cdot (-5) — 2 = -125 + 75 + 225 — 2 = 173$;
$y(0) = 0^3 + 3 \cdot 0^2 — 45 \cdot 0 — 2 = -2$;
Ответ: $y_{\min} = -2$; $y_{\max} = 173$.

б) На отрезке $[1; 2]$:
$y(1) = 1^3 + 3 \cdot 1^2 — 45 \cdot 1 — 2 = 1 + 3 — 45 — 2 = -43$;
$y(2) = 2^3 + 3 \cdot 2^2 — 45 \cdot 2 — 2 = 8 + 12 — 90 — 2 = -72$;
Ответ: $y_{\min} = -72$; $y_{\max} = -43$.

в) На отрезке $[-6; -1]$:
$y(-6) = (-6)^3 + 3 \cdot (-6)^2 — 45 \cdot (-6) — 2 = -216 + 108 + 270 — 2 = 160$;
$y(-5) = (-5)^3 + 3 \cdot (-5)^2 — 45 \cdot (-5) — 2 = -125 + 75 + 225 — 2 = 173$;
$y(-1) = (-1)^3 + 3 \cdot (-1)^2 — 45 \cdot (-1) — 2 = -1 + 3 + 45 — 2 = 45$;
Ответ: $y_{\min} = 45$; $y_{\max} = 173$.

г) На отрезке $[0; 2]$:
$y(0) = 0^3 + 3 \cdot 0^2 — 45 \cdot 0 — 2 = -2$;
$y(2) = 2^3 + 3 \cdot 2^2 — 45 \cdot 2 — 2 = 8 + 12 — 90 — 2 = -72$;
Ответ: $y_{\min} = -72$; $y_{\max} = -2$.

1. Нахождение производной функции

Для начала найдём производную функции $y = x^3 + 3x^2 — 45x — 2$.

Используем стандартные правила дифференцирования для каждого из членов:

• Производная от $x^3$ по правилу степени: $\frac{d}{dx} (x^n) = nx^{n-1}$, где $n = 3$, то есть $(x^3)’ = 3x^2$.
• Производная от $3x^2$ по тому же правилу: $(3x^2)’ = 3 \cdot 2x = 6x$.
• Производная от $-45x$ по правилу для линейной функции: $(-45x)’ = -45$.
• Производная от постоянной величины $-2$ равна 0, так как производная от константы всегда равна нулю.

Таким образом, производная функции:

$$y’ = (x^3)’ + 3(x^2)’ — (45x)’ — (2)’ = 3x^2 + 6x — 45.$$

Это и есть производная функции.

2. Нахождение стационарных точек

Для поиска стационарных точек нужно решить уравнение, при котором производная функции равна нулю:

$$y’ = 3x^2 + 6x — 45 = 0.$$

Для решения этого квадратного уравнения сначала упростим его:

$$3x^2 + 6x — 45 = 0.$$

Поделим обе части на 3:

$$x^2 + 2x — 15 = 0.$$

Теперь решим это уравнение с помощью дискриминанта. Напоминаем, что дискриминант для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле:

$$D = b^2 — 4ac.$$

Здесь $a = 1$, $b = 2$, и $c = -15$. Подставляем эти значения:

$$D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64.$$

Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два корня. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$$x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставляем значения:

$$x_1 = \frac{-2 — \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 — 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5,$$ $$x_2 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3.$$

Таким образом, стационарные точки функции — это $x_1 = -5$ и $x_2 = 3$.

3. Исследование функции на отрезках

Теперь исследуем функцию на указанных отрезках, чтобы найти максимумы и минимумы.

а) На отрезке $[-6; 0]$

Для нахождения экстремумов на этом отрезке вычислим значение функции в точках $x = -6$, $x = -5$ и $x = 0$ (где $x = -5$ — это стационарная точка).

1. $y(-6) = (-6)^3 + 3 \cdot (-6)^2 — 45 \cdot (-6) — 2 = -216 + 108 + 270 — 2 = 160$,
2. $y(-5) = (-5)^3 + 3 \cdot (-5)^2 — 45 \cdot (-5) — 2 = -125 + 75 + 225 — 2 = 173$,
3. $y(0) = 0^3 + 3 \cdot 0^2 — 45 \cdot 0 — 2 = -2$.

Таким образом, на отрезке $[-6; 0]$:

• $y_{\min} = -2$,
• $y_{\max} = 173$.

Ответ для этого отрезка: минимум $y_{\min} = -2$, максимум $y_{\max} = 173$.

б) На отрезке $[1; 2]$

Здесь мы вычислим значения функции в точках $x = 1$ и $x = 2$.

1. $y(1) = 1^3 + 3 \cdot 1^2 — 45 \cdot 1 — 2 = 1 + 3 — 45 — 2 = -43$,
2. $y(2) = 2^3 + 3 \cdot 2^2 — 45 \cdot 2 — 2 = 8 + 12 — 90 — 2 = -72$.

На отрезке $[1; 2]$:

• $y_{\min} = -72$,
• $y_{\max} = -43$.

Ответ для этого отрезка: минимум $y_{\min} = -72$, максимум $y_{\max} = -43$.

в) На отрезке $[-6; -1]$

Теперь вычислим значения функции на отрезке $[-6; -1]$. Мы уже знаем значение в точке $x = -6$ и $x = -5$, так что вычислим еще в точке $x = -1$.

1. $y(-6) = 160$ (из предыдущего вычисления),
2. $y(-5) = 173$ (из предыдущего вычисления),
3. $y(-1) = (-1)^3 + 3 \cdot (-1)^2 — 45 \cdot (-1) — 2 = -1 + 3 + 45 — 2 = 45$.

На отрезке $[-6; -1]$:

• $y_{\min} = 45$,
• $y_{\max} = 173$.

Ответ для этого отрезка: минимум $y_{\min} = 45$, максимум $y_{\max} = 173$.

г) На отрезке $[0; 2]$

Вычислим значения функции на отрезке $[0; 2]$. Мы уже знаем значение в точке $x = 0$, так что вычислим только в точке $x = 2$.

1. $y(0) = -2$ (из предыдущего вычисления),
2. $y(2) = -72$ (из предыдущего вычисления).

На отрезке $[0; 2]$:

• $y_{\min} = -72$,
• $y_{\max} = -2$.

Ответ для этого отрезка: минимум $y_{\min} = -72$, максимум $y_{\max} = -2$.

Итоги

• На отрезке $[-6; 0]$: $y_{\min} = -2$, $y_{\max} = 173$.
• На отрезке $[1; 2]$: $y_{\min} = -72$, $y_{\max} = -43$.
• На отрезке $[-6; -1]$: $y_{\min} = 45$, $y_{\max} = 173$.
• На отрезке $[0; 2]$: $y_{\min} = -72$, $y_{\max} = -2$.