ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.14 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = x + \frac{4}{x-1}$ на отрезке:

a) [2; 4];

б) [-2; 0].

$y = x + \frac{4}{x-1}$;

Производная функции:

$$y’ = (x)’ + \left( \frac{4}{x-1} \right)’ = 1 + \frac{(4)'(x-1) — 4(x-1)’}{(x-1)^2};$$ $$y’ = 1 + \frac{0 \cdot (x-1) — 4 \cdot 1}{(x-1)^2} = 1 — \frac{4}{(x-1)^2};$$

Стационарные точки:

$$1 — \frac{4}{(x-1)^2} = 0;$$ $$(x-1)^2 — 4 = 0;$$ $$x^2 — 2x + 1 — 4 = 0;$$ $$x^2 — 2x — 3 = 0;$$ $$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;$$

Критическая точка:

$$x — 1 = 0, \text{ отсюда } x = 1;$$

а) На отрезке $[2; 4]$:

$$y(2) = 2 + \frac{4}{2-1} = 2 + 4 = 6;$$ $$y(3) = 3 + \frac{4}{3-1} = 3 + \frac{4}{2} = 3 + 2 = 5;$$ $$y(4) = 4 + \frac{4}{4-1} = 4 + \frac{4}{3} = 5 \frac{1}{3};$$

Ответ: $y_{\text{min}} = 5$; $y_{\text{max}} = 6$.

б) На отрезке $[-2; 0]$:

$$y(-2) = -2 + \frac{4}{-2-1} = -2 — \frac{4}{3} = -3 \frac{1}{3};$$ $$y(-1) = -1 + \frac{4}{-1-1} = -1 — \frac{4}{2} = -1 — 2 = -3;$$ $$y(0) = 0 + \frac{4}{0-1} = -4;$$

Ответ: $y_{\text{min}} = -4$; $y_{\text{max}} = -3$.

Дана функция:

$$y = x + \frac{4}{x — 1}$$

1. Производная функции

Нам нужно найти производную функции $y = x + \frac{4}{x-1}$.

Функция состоит из двух частей: линейного члена $x$ и дробной функции $\frac{4}{x-1}$.

Для нахождения производной применим правило дифференцирования суммы и правило дифференцирования дроби.

• Производная от $x$ равна 1, так как производная от переменной $x$ по самой себе равна 1:

  $$(x)’ = 1$$

• Для второй части, $\frac{4}{x — 1}$, используем правило дифференцирования функции вида $\frac{C}{g(x)}$, где $C$ — константа, а $g(x)$ — функция от $x$.

Правило дифференцирования для такой дроби:

$$\left( \frac{C}{g(x)} \right)’ = -\frac{C \cdot g'(x)}{(g(x))^2}$$

В нашем случае $C = 4$, а $g(x) = x — 1$. Следовательно, производная от $g(x) = x — 1$ равна:

$$g'(x) = 1$$

Теперь, применяем формулу:

$$\left( \frac{4}{x — 1} \right)’ = -\frac{4 \cdot 1}{(x — 1)^2} = -\frac{4}{(x — 1)^2}$$

Таким образом, полная производная функции будет:

$$y’ = 1 — \frac{4}{(x — 1)^2}$$

2. Стационарные точки

Стационарные точки находятся при условии, что производная функции равна нулю, то есть:

$$y’ = 0$$

Подставляем производную:

$$1 — \frac{4}{(x — 1)^2} = 0$$

Переносим $\frac{4}{(x — 1)^2}$ в правую часть:

$$\frac{4}{(x — 1)^2} = 1$$

Теперь умножаем обе части на $(x — 1)^2$ и получаем:

$$4 = (x — 1)^2$$

Извлекаем квадратный корень из обеих сторон:

$$x — 1 = \pm 2$$

Таким образом, $x = 1 + 2 = 3$ или $x = 1 — 2 = -1$.

Это означает, что стационарные точки находятся в $x = -1$ и $x = 3$.

3. Критическая точка

Теперь найдем критическую точку, то есть точку, в которой производная не существует. Производная не существует, когда знаменатель функции $(x — 1)^2$ равен нулю, то есть:

$$x — 1 = 0$$

Отсюда:

$$x = 1$$

4. Вычисление значений функции на отрезках

Теперь вычислим значения функции на заданных отрезках, чтобы найти минимальные и максимальные значения функции.

а) На отрезке $[2; 4]$

Для начала, подставляем значения $x = 2$, $x = 3$, и $x = 4$ в исходную функцию $y = x + \frac{4}{x — 1}$:

• Для $x = 2$:

$$y(2) = 2 + \frac{4}{2 — 1} = 2 + \frac{4}{1} = 2 + 4 = 6$$

• Для $x = 3$:

$$y(3) = 3 + \frac{4}{3 — 1} = 3 + \frac{4}{2} = 3 + 2 = 5$$

• Для $x = 4$:

$$y(4) = 4 + \frac{4}{4 — 1} = 4 + \frac{4}{3} = 4 + 1.3333 = 5.3333$$

Ответ: на отрезке $[2; 4]$ минимальное значение $y_{\text{min}} = 5$, а максимальное значение $y_{\text{max}} = 6$.

б) На отрезке $[-2; 0]$

Теперь подставим значения $x = -2$, $x = -1$, и $x = 0$ в исходную функцию $y = x + \frac{4}{x — 1}$:

• Для $x = -2$:

$$y(-2) = -2 + \frac{4}{-2 — 1} = -2 + \frac{4}{-3} = -2 — \frac{4}{3} = -2 — 1.3333 = -3.3333$$

• Для $x = -1$:

$$y(-1) = -1 + \frac{4}{-1 — 1} = -1 + \frac{4}{-2} = -1 — 2 = -3$$

• Для $x = 0$:

$$y(0) = 0 + \frac{4}{0 — 1} = 0 + \frac{4}{-1} = -4$$

Ответ: на отрезке $[-2; 0]$ минимальное значение $y_{\text{min}} = -4$, а максимальное значение $y_{\text{max}} = -3$.

Итоговые ответы

• На отрезке $[2; 4]$: $y_{\text{min}} = 5$, $y_{\text{max}} = 6$.
• На отрезке $[-2; 0]$: $y_{\text{min}} = -4$, $y_{\text{max}} = -3$.